简单数论（三）-----欧拉定理

欧拉定理总结

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 Part I 欧拉函数

ø(n)是欧拉函数，表示小于正整数n的数中与n互质的数的个数

Part II 欧拉函数的性质

1. 若p为某一素数，则ø(p)=p-1

2. 若p为某一素数，

则ø(p^a)=(p-1)*p^a-1

证明：比pa小的数有p^a-1个，其中，所有能被p整除的数可以表示成p*k(k = 1,2,3...,p^a-1-1)，

这些数肯定不与p^a互质，其余的数都与p^a互质 ∴ø(p^a)=p^a-1-(p^a-1-1)=(p-1)*p^a-1

3. 若a、b互质，则ø(a*b)=ø(a)*ø(b)

4.任意正整数n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak，p1~pk为素数，则

4.求单个欧拉函数的代码

5.欧拉函数的线性筛法

求一个正整数n的欧拉函数值为O(n)

如何在线性时间内求出所有数的欧拉函数值？

需要先了解如下两个性质

若i mod p = 0，那么ø(i*p)=p*ø(i)

若i mod p ≠ 0，那么ø(i*p)=(p-1)*ø(i)

 6.欧拉筛参考代码

inline void get_phi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(mark[i]==0){
            ++tot;
            prime[tot] = i;
            phi[i] = i-1;
        } 
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>MAXN)
            {
                break;
            }
            mark[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
            }
        }
    }
}

Part III 欧拉定理及扩展欧拉定理

1.欧拉定理

若a与m互质，则a^ø(m)≡1(mod m)

2.扩展欧拉定理

其中 。