Prim最小生成树算法

      在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。          

      许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

      性质

• 最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。
• 最小生成树不可以有循环。
• 最小生成树不必是唯一的。

Prim算法与Kruskal算法是寻找最小生成树的经典方法。

prim算法：

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {}；
3. 重复下列操作，直到V_new= V：
   1. 在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合V_new中的元素，而v则不是（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   2. 将v加入集合V_new中，将（u, v）加入集合E_new中；
4. 输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

     为实现这个算法需要一个辅助数组closedge，来记录V_new到V-V_new具有最小权值的边。对于每个顶点v_i∈V-V_new，在辅助数组中存在一个分量closedge[i]，表示v_i到V_new的最小代价边，closedge包括两个域， adjvex表示这条边的顶点，lowcost表示v_i到adjvex的权值。当选择新的顶点到V_new,选择新的边到E_new时，要更新closedge

 无向加权图：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#define  MAXW  1000//定义最大权值
using namespace std;
template<class T>
class Graph//无向加权图
{
public:
    Graph();
    ~Graph();
    void Create();//生成加权图
    void DFSTraverse(void (*fun)(T));//深度优先遍历
    void BFSTraverse(void (*fun)(T));//广度优先遍历
    int LocateVex(T vex);
    int  GetVexnum(){return vexnum;}
    int  GetArcnum(){return arcnum;}
    int** GetAdjMatrix(){return adjMatrix;}
    T GetVex(int i){return vexs[i];}
private:
    vector<T> vexs;//顶点数组
    int** adjMatrix;//邻接矩阵
    int arcnum;//弧数
    int vexnum;//顶点数
    bool *visited;
    
    int FirstAdjVex(int v);//v的第一个邻接点
    int NextAdjVex(int v,int w);//从w开始找v的下个邻接点
    void DFS(int i,void (*fun)(T));
};

template<class T>
Graph<T>::Graph()
{
    adjMatrix=NULL;
    arcnum=0;
    visited=NULL;
}

template<class T>
Graph<T>::~Graph()
{
    for (int i=0;i<vexnum;i++)
    {
        delete [] adjMatrix[i];
        
    }
    delete adjMatrix;
    adjMatrix=0;
    delete [] visited;
}

template<class T>
void Graph<T>::Create()
{
    cout<<"输入顶点数，弧数（以空格隔开）：";
    cin>>vexnum;
    cin>>arcnum;
    adjMatrix=new int*[vexnum];
    for(int i=0;i<vexnum;i++)
        adjMatrix[i]=new int[vexnum];

    for (int i=0;i<vexnum;i++)
    {
        for(int j=0;j<vexnum;j++)
            adjMatrix[i][j]=MAXW;//初始化邻接矩阵
    }

    visited=new bool[vexnum];

    cout<<"输入顶点列，以空格隔开：";
        for (int i=0;i<vexnum;i++)
        {
            T temp;
            cin>>temp;
            vexs.push_back(temp);//输入顶点
        }

        cout<<"输入一条边依附的顶点及权值（A B 1）:"<<endl;
        for (int i=0;i<arcnum;i++)
        {
            T v1,v2;
            int w;
            cin>>v1;
            cin>>v2;
            cin>>w;

            int x=LocateVex(v1);
            int y=LocateVex(v2);
            adjMatrix[x][y]=w;
            adjMatrix[y][x]=w;//设置权值


        }
}

template<class T>
int Graph<T>::LocateVex(T vex)
{
    for(int i=0;i<vexnum;i++)
    {
        if (vexs[i]==vex)
        {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

template<class T>
int Graph<T>::FirstAdjVex(int v)
{
    for (int i=0;i<vexnum;i++)
    {
        if(adjMatrix[v][i]!=MAXW)return i;
    }
    return -1;
}

template<class T>
int Graph<T>::NextAdjVex(int v,int w)
{
    for (int i=w+1;i<vexnum;i++)
    {
        if(adjMatrix[v][i]!=MAXW)return i;
    }
    return -1;
}

template<class T>
void Graph<T>::DFS(int i,void (*fun)(T))//从第i个顶点深度优先遍历
{
    visited[i]=true;
    fun(vexs[i]);
    for (int w=FirstAdjVex(i);w>=0;w=NextAdjVex(i,w))
    {
        if(!visited[w]) DFS(w,fun);
    }

    
}

template<class T>
void Graph<T>::DFSTraverse(void (*fun)(T))
{
    for(int i=0;i<vexnum;i++)
    visited[i]=false;
    for (int i=0;i<vexnum;i++)
    {
        if(!visited[i])DFS(i,fun);
    }
}

template<class T>
void Graph<T>::BFSTraverse(void (*fun)(T))
{
    queue<int>  Q;
    for(int i=0;i<vexnum;i++)
        visited[i]=false;

    visited[0]=true;
    fun(vexs[0]);
    Q.push(0);//顶点入队
    while (!Q.empty())
    {
        //int v=Q.back();
        int v=Q.front();// 出队
        Q.pop();
        for(int w=FirstAdjVex(v);w>=0;w=NextAdjVex(v,w))
        {
                if(!visited[w])
                {
                    visited[w]=true;
                    fun(vexs[w]);
                    Q.push(w);//访问后顶点入队
                }
        }

    }
}

prim算法：

template<class T>
void MinSpanTree_PRIM(Graph<T> &G,T u)
{//Prim算法，生成最小生成树
    struct cell
    {
        T adjvex;//邻接顶点
        int lowcost;//最小权值
    };
    cell* closedge=new cell[G.GetVexnum()];//辅助数组

    int k=G.LocateVex(u);
    for (int i=0;i<G.GetVexnum();i++)
    {
        if(i!=k)
        {
            closedge[i].adjvex=u;
            closedge[i].lowcost=G.GetAdjMatrix()[k][i];
        }
        
    }
    closedge[k].lowcost=0;

    for (int i=1;i<G.GetVexnum();i++)
    {
        int w=MAXW;
        for(int j=0;j<G.GetVexnum();j++)
        {
            if(closedge[j].lowcost<w&&closedge[j].lowcost>0)
            {
                w=closedge[j].lowcost;
                k=j;
            }
        }
        //输出路径
        cout<<endl;
        cout<<"找到路径："<<closedge[k].adjvex<<"----"<<G.GetVex(k)<<"权值："<<w<<endl;

        closedge[k].lowcost=0;

        for(int j=0;j<G.GetVexnum();j++)
        {//更新closedge[j]
            if (G.GetAdjMatrix()[k][j]<closedge[j].lowcost)
            {
                closedge[j].adjvex=G.GetVex(k);
                closedge[j].lowcost=G.GetAdjMatrix()[k][j];
            }
        }
    }

}

main：

void printfun(char ch)
{
    cout<<ch<<" ";
}
int main()
{
    Graph<char> G;
    G.Create();
    cout<<"深度优先遍历:";
    G.DFSTraverse(printfun);
    cout<<endl<<"广度优先遍历：";
    G.BFSTraverse(printfun);
    MinSpanTree_PRIM(G,G.GetVex(0));
    return 1;
    

}

 例子：

原图：

运行结果：