洛谷P1854 花店橱窗布置

此题出自 IOI 1999

此题的难点在于：

1.如何满足题目所述的顺序问题；

2.如何记录转移状态。

首先考虑朴素算法。着眼于问题1，不难想到枚举第一朵花的位置，然后在这个位置左边枚举第二朵花的位置......依此类推。

思考这个模型，发现其搜索树的状态存在大量重叠，且此问题满足“最优子结构”，“子问题重叠性”，“无后效性”三个dp的基础条件。

于是考虑dp。

根据朴素算法，考虑使用一个数组 f[ i ][ j ] 记录前 i 朵花占前 j 个瓶子的最大值。

于是，可以构造出核心转移：

for(int i = 2; i <= F; i++)
        for(int j = i; j <= V - F + i; j++)
            for(int k = 1; k < j; k++)
                if(f[i - 1][k] + B[i][j] > f[i][j])
                {
                    f[i][j] = f[i - 1][k] + B[i][j];
                    pre[i][j] = k;
                }

容易发现，当 f 的值得到更新，意味着从 k 处得到转移，不难想到问题二的解法：记录状态 f[ i ][ j ]的转移来源即可。

完整代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXF = 1e2 + 20;

inline int read()
{
    static int x;
    scanf("%d", &x);
    return x;
}

int f[MAXF][MAXF], pre[MAXF][MAXF];
int B[MAXF][MAXF];
int F, V;

int main()
{
    cin>>F>>V;
    for(int i = 1; i <= F; i++)
        for(int j = 1; j <= V; j++)
            B[i][j] = read();

    memset(f, -0x7f, sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= (V - F + 1); i++)
        f[1][i]=B[1][i], pre[1][i] = i;

    for(int i = 2; i <= F; i++)
        for(int j = i; j <= V - F + i; j++)
            for(int k = 1; k < j; k++)
                if(f[i - 1][k] + B[i][j] > f[i][j])
                {
                    f[i][j] = f[i - 1][k] + B[i][j];
                    pre[i][j] = k;
                }

    int ans = -0x7f7f7f7f,y;
    for(int i = 1; i <= V; i++)
        if(ans < f[F][i])
             y = i, ans = f[F][i];

    int x = F;
    std::vector<int> v;
    for(; x >= 1; y = pre[x][y], x--)
        v.push_back(y);

    reverse(v.begin(), v.end());
    cout<<ans<<endl;
    for(int i = 0; i < (int) v.size(); i++)
        cout<<v[i]<<" ";
    puts("");
    return 0;
}

(不要吐槽奇怪的read()函数，一开始没发现有负数，写的快读，wa了好几遍。。。)