Symmetric Matrix

Symmetric Matrix

 

 题意：构造满足上述4个条件的矩阵，问能构造多少个

分析：可以把这个矩阵看做是无向图的邻接矩阵，那么我们就可以把问题转化为求无向图中所有点的度数都为2的图有多少个。我们考虑(fleft [ n ight ])表示(n)个结点的图满足条件的数量。

我们考虑图中的最后一个点所在的环中有多少个结点:

1.当最后一个环只有两个结点的时候:（为什么不合并为第二种情况呢，因为当一个环只有两个点时，除以(2)就不对了）

(C_{n-1}^{1}ast fleft ( n-2 ight )=left ( n-1 ight )ast fleft ( n-2 ight ))

表示从除最后一个点以外的(n-1)个点中选出1个点与最后一个点形成环，前(n-2)个点形成满足条件的图的总情况有多少

2.考虑最后一个点所在的环有(n-k)个结点的情况，其中(left ( 2leq k且left ( n-k ight )> 2 ight )即left ( 2leq kleq n-3 ight ))

我们可以先从前n-1个结点中选出k个结点形成满足条件的图，那么剩下的(n-k-1)个结点就有((n-k-1)!)种形成链的方式（因为每个点的度为(2)，且这(n-k-1)个结点要与最后一个点形成环，所以这(n-k-1)个结点只会形成链），然后我们再加入最后一个结点与这条链的首尾相连形成环，由于首尾的顺序与形成的环的方式是无关的，所以这里要除以一个(2)将重复的情况去除（比如(1,2,3)三个结点的全排列中就有(1,2,3)和(3,2,1)两种，由于它是无向图，所以在加入最后一个结点(4)之后形成的环都是(1-2-3-4-1)，就有一种情况重复计算了）

所以：公式为：

(C_{n-1}^{k}ast fleft ( k ight )ast frac{left ( n-k-1 ight )!}{2})

最后：

(fleft ( n ight )=left ( n-1 ight )ast fleft ( n-2 ight )+sum_{k=2}^{n-3}C_{n-1}^{k}ast fleft ( k ight )ast frac{left ( n-k-1 ight )!}{2})

(fleft ( n ight )=left ( n-1 ight )ast fleft ( n-2 ight )+sum_{k=2}^{n-3}frac{left ( n-1 ight )!}{k!ast left ( n-k-1 ight )!}ast fleft ( k ight )ast frac{left ( n-k-1 ight )!}{2})

1.(fleft ( n ight )=left ( n-1 ight )ast fleft ( n-2 ight )+sum_{k=2}^{n-3}frac{left ( n-1 ight )!}{k!}ast frac{fleft ( k ight )}{2})，那么有

2.(left ( n-1 ight )ast fleft ( n-1 ight )=left ( n-1 ight )ast left ( n-2 ight )ast fleft ( n-3 ight )+left ( n-1 ight )ast sum_{k=2}^{n-4}frac{left ( n-2 ight )!}{k}ast frac{fleft ( k ight )}{2})

(1式-2式)得：

(fleft ( n-1 ight )ast left ( fleft ( n-1 ight)+fleft ( n-2 ight ) ight )-left ( n-1 ight )*left ( n-2 ight )ast fleft ( n-3 ight )/2)

AC_Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
#define rep(i,first,second) for(int i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(int i=first;i>=second;i--)

int n,m;
ll f[maxn];
int main()
{
    while( ~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if( m==1 ){
            printf("0
");
            continue;
        }
        f[1]=0;
        f[2]=f[3]=1;
        rep(i,4,n){
            f[i]=((i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%m-((ll)(i-1)*(i-2)/2*f[i-3])%m + m)%m;
        }
        printf("%lld
",f[n]);
    }
    return 0;
}

参考博客：here