2021寒假集训——数论初步

1.28 数论初步

讲师：姚嘉宸（i207m）

质数

1.整除、质数（素数）、合数的定义。注：1既不是质数也不是合数

2.唯一分解定理&标准分解式

3.素数计数函数：小于或等于x的素数个数，称为π(x)，随着x增大，有：

[π(x)approx frac{x}{ln(x)} ]

4.质数判定：2~(sqrt{n})

5.miller-rabin 素性测试

6.费马小定理：(不要求互素)

若a是一个整数，p是一个质数，则有

[a^pequiv aspace (modspace p) ]

及证明（听不懂）

7.fermat素性测试

费马小定理逆定理不成立，使其不成立的数叫作卡迈克尔数，并且满足(m=2^n - 1)

8.二次探测定理

如果p是奇素数，则 (x^2equiv 1space (modspace p))的解为(x=1)或(x=p-1)

于是对于(x=1)的情况，可以“二次探测”。

*pollard-rho（生日悖论）

扩展欧几里得算法

1.欧几里得算法求gcd是log的。

[当a>b时，有 a\% b<frac{a}{2} ]

2.扩展欧几里得算法（exgcd）常用于求(ax+by=gcd(a,b))

内容：((a,b)=(b,a\%b)=d)

(space space space 当b=0时，(a,0)=a，即left{egin{aligned}x=1\y=0end{aligned} ight.)

(space space space 当b eq0时，由欧几里得定理可知 by+(aspace mod space b)x=d)

(space space space 由a space modspace b=a-lfloor frac{a}{b} floorcdot b得)

(space space space ax+b(y-lfloorfrac{a}{b} floorcdot x)=d)

(space space space 即x=x，y=y-lfloor frac{a}{b} floor cdot x)

递归即可

模板：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	else{
		int d=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
		return d;
	}
}

P1516 青蛙的约会

剩余系求逆元

对于某个a，是否存在b，使得(ab=1 space(modspace m))

首先考虑逆元的存在性和唯一性

存在性：当且仅当((a,m)=1)时有逆元。

​ 证明：考虑(ax+my=1)的解

唯一性：逆元若存在，一定唯一。

​ 证明：假设(ab=ac=1(modspace m))，则(b=bac=(ba)c=c(modspace m))

求逆元の5种写法

1.费马小定理

[a imes a^{p-2}=1(modspace p) ]

注：要求p为质数

2.exgcd

​ 求(ax+my=1)的解

3.线性求逆元

​ 直接放图

4.线性求逆元2 （求多个）

5.线性筛

中国剩余定理（CRT）

[left{egin{aligned}& x equiv b_1(modspace a_1)\&xequiv b_2(modspace a_2)\&…\&xequiv b_n(modspace a_n)end{aligned} ight. ]

其中({a_i})互质，求(x)

有无数组解。

在(lcm(a_i))的剩余系下，有唯一解：

[x=Sigma b_i imes M_i imes M^{-1}_i ]

其中，$$M_i= prod_{j e i}a_j$$，(M_i^{-1})为(M_i)在(mod (a_i))下的逆元。

扩展中国剩余定理（EXCRT）

不互质的情况

式子两两合并

P3868 裸题

欧拉函数

即(phi(n))，小于等于n的与n互质的个数

1.欧拉函数是积性函数(证明听不懂)

2.特别地，当n是奇数时，(phi(2n)=phi(n))

3.(n=sum_{d|n}phi(d))

4.(phi(p^k)=p^k-p^{k-1})

5.设(n=prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i})，其中(p_i)是质数，则(phi(n)=nprod_{i=1}^s(1-frac{1}{p_i}))

欧拉定理

内容：若gcd(a,m)=1，则(a^{phi(m)}equiv 1(modspace m))

扩展欧拉定理

内容：

[a^bequiv left{ egin{aligned} &a^{bspace modspace phi(p)},&gcd(a,p)=1\ &a^b,&gcd(a,p) e 1&,b<phi(p)&(modspace p)\ &a^{bspace modspace phi(p)+phi(p)},&gcd(a,p) e 1&,bgeqphi(p) end{aligned} ight. ]

注：扩展欧拉定理只能在指数比(phi(p))大时才能用！

P4139 《大部分人都做过》

筛法

Eratosthenes筛法

洲阁筛、Min_25筛

线性筛

线性筛φ

线性筛μ

线性筛(sigma_0)

(sigma_0(n))表示(n)的因数个数。

设(n=p_1^{k_1}…p_t^{k_t})，则(sigma_0(n)=prod(k_i+1))

莫比乌斯反演

前置知识

引理1：

[forall a,b,cin Bbb{Z},lfloor frac{a}{bc} floor=lfloor frac{lfloorfrac{a}{b} floor}{c} floor ]

引理2：

[forall n in Bbb{N}_+,lfloorfrac{n}{d} floor的不同取值数leqlfloor2sqrt{n} floor ]

数论分块

​ 设(k=lfloorfrac{n}{i} floor)， 当(lfloorfrac{n}{j} floor=k)时，j的最大值为(lfloorfrac{n}{k} floor)

积性函数

eg:单位函数 恒等函数 常数函数 除数函数 欧拉函数 莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

[mu(n)=left{egin{aligned} &1&n=1\&0&exists d>1:d^2|n&\&(-1)^{omega(n)}&otherwiseend{aligned} ight. ]

其中(omega(n))表示n的本质不同质因子个数，也是积性函数

Dirichlet卷积

定义两个数论函数(f,g)的Dirichlet卷积为

[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}) ]

有交换律、结合律、分配律

eg：

[f*epsilon=f ]

[epsilon=mu * 1 ]

[d=1*1 ]

[sigma=id*1 ]

[phi=mu*id ]

莫比乌斯反演

设(f(n),g(n))为两个数论函数。

如果有(f(n)=sum_{d|n}g(d))，那么有(g(n)=sum _{d|n}mu(d)f(frac{n}{d}))。

如果有(f(n)=sum_{n|d}g(d))，那么有(g(n)=sum _{n|d}mu(frac{d}{n})f(d))。

证明不会