careercup-递归和动态规划 9.8

9.8 给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码就是n分有几种表示法。

解法：

使用回溯法进行解决，实际上就是一个类似枚举的过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

C++实现代码：

#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

void helper(vector<int> &denom,int target,vector<int> &path,vector<vector<int> > &res)
{
    if(target<0)
        return;
    if(target==0)
    {
        res.push_back(path);
        return;
    }
    int i;
    for(i=0;i<(int)denom.size();i++)
    {
        path.push_back(denom[i]);
        helper(denom,target-denom[i],path,res);
        path.pop_back();
    }
}

vector<vector<int> > makeChange(vector<int> &denom,int target)
{
    if(denom.empty())
        return vector<vector<int> >();
    vector<vector<int> > res;
    vector<int> path;
    helper(denom,target,path,res);
    return res;
}

int main()
{
    vector<int> vec={1,2,3};
    vector<vector<int> > res=makeChange(vec,5);
    for(auto a:res)
    {
        for(auto t:a)
            cout<<t<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

运行结果：

其中存在重复的，譬如：1 1 2 1 和 2 1 1 1。虽然顺序不一样，但是表示的同样的划分。

这是错误的，问题出在哪呢？有序和无序的区别！这个函数计算出来的组合是有序的，也就是它会认为1,2和2,1是不一样的，导致计算出的组合里有大量是重复的。那要怎么避免这个问题呢？1，5和5，1虽然会被视为不一样，但如果它们是排好序的，比如都按从大到小排序，那么就是5，1了，这时就不会重复累计组合数量。可是我们总不能求出答案之后在排序吧，多费劲。这是我们就在递归上动手脚，让它在计算的过程中就按照从大到小的币值来组合。比如，现在我拿了一个25分的硬币，那下一次可以去的币值就是25，10，5，1；如果我拿了一个10分的，下一次可以取的币值就只有10，5，1了；这样一来，就能保证，我只累计了一次，改造后的代码如下：

#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

void helper(vector<int> &denom,int start,int target,vector<int> &path,vector<vector<int> > &res)
{
    if(target<0)
        return;
    if(target==0)
    {   
        res.push_back(path);
        return;
    }   
    int i;
    for(i=start;i<(int)denom.size();i++)
    {   
        path.push_back(denom[i]);
　　　　　//只能从下标i和i之后的元素开始取
        helper(denom,i,target-denom[i],path,res);
        path.pop_back();
    }   
}

vector<vector<int> > makeChange(vector<int> &denom,int target)
{
    if(denom.empty())
        return vector<vector<int> >();
    vector<vector<int> > res;
    vector<int> path;
    helper(denom,0,target,path,res);
    return res;
}

int main()
{
    vector<int> vec={3,2,1};
    vector<vector<int> > res=makeChange(vec,5);
    for(auto a:res)
    {   
        for(auto t:a)
            cout<<t<<" ";
        cout<<endl;
    }   
}

运行结果：

[root@localhost 桌面]# ./coin 
3 2 
3 1 1 
2 2 1 
2 1 1 1 
1 1 1 1 1 

#include<iostream>
using namespace std;

int makeChange(int n,int denom)
{
    int next_denom=0;
    switch(denom)
    {
    case 25:
        next_denom=10;
        break;
    case 10:
        next_denom=5;
        break;
    case 5:
        next_denom=1;
        break;
    case 1:
        return 1;
    }
    int i;
    int way=0;
    for(i=0;n-i*denom>=0;i++)
    {
        way+=makeChange(n-i*denom,next_denom);
    }
    return way;
}

int main()
{
    cout<<makeChange(100,25)<<endl;
}