话说今天搜矩阵相乘，没有一个人用pascal写，是不是学到矩阵相乘的孩子都果断转c++了。。。我可是有良心的写博人，当然附上pascal代码
故事开始了
今天看到这样一个题
a[1]=a[2]=a[3]=1
a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。
然后是它的数据范围
对于30%的数据 n<=100；
对于60%的数据 n<=2*10^7；
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
当我发现打表不过的时候，我就走上了矩阵相乘这条不归路
何谓矩阵相乘
矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log( n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。——来自好搜百科
说白了矩阵相乘就是两个矩阵，其中一个矩阵的长等于另一个矩阵的宽的矩阵相乘，乘出来的新矩阵上f[i,j] 代表第一个矩阵的第i行和第二个矩阵的第j列依次相乘（因为宽等于长，所以可以依次相乘）后累加=>得到新矩阵
然后例题来了！
CODEVS 1287 矩阵乘法
题目描述 Description
小明最近在为线性代数而头疼，线性代数确实很抽象（也很无聊），可惜他的老师正在讲这矩阵乘法这一段内容。
当然，小明上课打瞌睡也没问题，但线性代数的习题可是很可怕的。小明希望你来帮他完成这个任务。
现在给你一个ai行aj列的矩阵和一个bi行bj列的矩阵，要你求出他们相乘的积（当然也是矩阵）。
(输入数据保证aj=bi,不需要判断)
矩阵乘法的定义：
1. 矩阵A乘以B的时候，必须要求A的列数=B的行数，否则无法进行乘法运算。因此矩阵乘法也不满足交换律。
2. 设A是X*N的矩阵，B是N*Y的矩阵，用A的每一行乘以B的每一列，得到一个X*Y的矩阵。对于某一行乘以某一列的运算，我们称之为向量运算，即对应位置的每个数字相乘之后求和。
写为公式及：
C[i,j] = Sigma(A[i,k] * B[k,j])
输入文件共有ai+bi+2行，并且输入的所有数为整数（long long范围内）。
第1行：ai 和 aj
第2~ai+2行：矩阵a的所有元素
第ai+3行：bi 和 bj
第ai+3~ai+bi+3行：矩阵b的所有元素
输出矩阵a乘矩阵b的积（矩阵c)
2 2
12 23
45 56
2 2
78 89
45 56
1971 2356
6030 7141
1 program martic; 2 var a,b:array[1..200,1..200] of int64; 3 c:array[1..200,1..200] of int64; 4 n1,m1,n2,m2,i,j,k:Longint; 5 begin 6 read(n1,m1); 7 for i:=1 to n1 do 8 for j:=1 to m1 do 9 read(a[i,j]); 10 read(n2,m2); 11 for i:=1 to n2 do 12 for j:=1 to m2 do 13 read(b[i,j]); 14 for i:=1 to n1 do 15 for j:=1 to m2 do 16 for k:=1 to m1 do 17 begin 18 c[i,j]:=c[i,j]+a[i,k]*b[k,j];//这是重要的矩阵相乘公式 19 end; 20 for i:=1 to n1 do 21 begin 22 for j:=1 to m2 do 23 write(c[i,j],' '); 24 writeln; 25 end; 26 end.
接下来我就又向那个题迈进了一步，斐波那契数列：
这个题目我主要靠搜的百度，他们要讲的比我讲的明白的多的多，我从各种博客上摘了两种解法（毕竟我百度了一个下午）
给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31
根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：
这是一种
另一种
(三)矩阵乘法+空间换时间(减少乘法，取模运算)
数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)
用矩阵表示为：
进一步，可以得出直接推导公式：
由于矩阵乘法满足结合律，在程序中可以事先给定矩阵的64，32，16，8，4，2，1次方，加快程序的执行时间。（有些题目需要取模运算，也可以事先进行一下）。给定的矩阵次幂，与二进制有关是因为，如下的公式存在解，满足Xi={0或1}：
为了保证解满足 Xi={0或1}，对上述公式的求解从右向左，即求解顺序为Xn，Xn-1,Xn-2,....,X1,X0。
我按照的是第一种思路
这里必须说明一点，矩阵里的1就是斜填一条对角线例如（（1,0），（0,1））；
1 program martic; 2 type zz=array[1..2,1..2] of int64; 3 const l:zz=((1,0), 4 (0,1)); 5 var a,e:zz; 6 n1,n,q,j:Longint; 7 8 function mult(m,d:zz; w:longint):zz; 9 var c:zz; 10 i,j,k:longint; 11 begin 12 fillchar(c,sizeof(c),0); 13 for i:=1 to 2 do 14 for j:=1 to w do 15 for k:=1 to 2 do 16 c[i,j]:=(c[i,j]+(m[i,k]*d[k,j])mod q) mod q; 17 exit(c); 18 end; 19 function quick(n:longint):Zz; 20 var m,b,ans:zz; 21 begin 22 m:=a; 23 b:=l; 24 if n=1 then exit(m); 25 while n>=1 do 26 begin 27 if n mod 2<>0 then b:=mult(b,m,2); 28 n:=n div 2; 29 m:=mult(m,m,2); 30 end; 31 exit(b); 32 end; 33 34 begin 35 read(n1); 36 for j:=1 to n1 do 37 begin 38 e[1,1]:=1; 39 e[2,1]:=1; 40 read(n,q); 41 a[1,2]:=1; 42 a[2,1]:=1; 43 a[2,2]:=1; 44 a[1,1]:=0; 45 a:=quick(n-1); 46 e:=mult(a,e,1); 47 writeln(e[2,1]); 48 end; 49 50 end.
后来我就走开时写最上面那个例题
VOJ1067
我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：
（越靠近右边的越靠下，我暂时也不知道为什么）
代码如下
program martic; type zz=array[1..3,1..3] of int64; const l:zz=((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1));//这就是传说中的初值 mo=1000000007; var a,e:zz; n1,n,q,j,i:Longint; function mult(m,d:zz; w:longint):zz; var c:zz; i,j,k:longint; begin fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to 3 do for j:=1 to w do for k:=1 to 3 do c[i,j]:=(c[i,j]+(m[i,k]*d[k,j])mod mo) mod mo; exit(c); end; function quick(n:longint):Zz; var m,b,ans:zz; begin m:=a; b:=l; if n=1 then exit(m); while n>=1 do begin if n mod 2<>0 then b:=mult(b,m,3); n:=n div 2; m:=mult(m,m,3); end; exit(b); end; begin read(n1); for j:=1 to n1 do begin read(n); fillchar(a,sizeof(a),0); a[1,2]:=1; a[2,3]:=1; a[3,1]:=1; a[3,3]:=1; a:=quick(n-3);//因为从第四个值开始，所以要-3 for i:=1 to 3 do e[i,1]:=1; e:=mult(a,e,1); writeln(e[3,1]); end; end.
至此，我就把我的目标AC掉了，但令人望而生畏的是这个东西有10种例题，我只能在矩阵相乘这条不归路上越走越远。。。。。。