POJ 2404 Jogging Trails

【题目大意】

      给你n个点，m条无向边，每条边有一定的距离数值，构造成一个连通图。问从任意一点出发，遍历所有的边，每条边至少访问一次，再回到起点，求满足要求的方案中走过的距离之和的最小短值。

【分析】

　  首先想到的是如果这是一个欧拉图，那肯定能经过每条边有且仅有一次，这样的方案一定是最小的（所有边距离的和）。如果不是欧拉图，由于是连通图，根据握手定理，则必有偶数个点的度为奇数。要从一点出发每边至少走一次，则必须要构成一个欧拉回路，所以有些边必须要走多次，每多走一次等价多连接了一条边，这样构成欧拉图，原先的边和新加的虚拟边在欧拉图中有且仅经过一次。现在还要使距离之和最短。原先的边的距离之和是固定的了，要使结果最小，只能使新加的虚拟边之和最小。通过分析可以发现要构成欧拉图，添加的虚拟边的两个端点原先的度数一定是奇数，如果其中有偶数度的点，添加一边后度数就会变奇数，不可能成为欧拉图或者多此一举。于是现在的问题是如何在偶数个奇度顶点中两两连线，使得这些连线的距离之和最小，易想到两个顶点的连线长度应该是这两点间的最短距离（贪心）。想要解决这个问题，可以使用最优匹配算法，也可以使用动态规划。

    这里我使用动态规划的方法。

    状态表示：

         用一串二进制数，第i位数表示第i个点是否为奇度点，0表示不是，1表示是。例如00110101表示1、3、5、6点的度数为奇数。
         每个状态划分为一个阶段。

    阶段状态转移：

         每个状态可以从当前状态任意使两个1变为0 的状态转移而来，也就是说从删除一条边变为当前状态的状态转移而来。
         比如说00110101可以从6个状态转移而来：00000101、00110000、00010001、00100001、00010100、00100100

    无后效应：

         如果当前状态是通过之前的一条转移路径转移而来，不会导致之后有些本该转移的状态不可转移。
         例如：当前为00110101，无论之前如何转移，之后一定可以转移成00111111

    最优子结构：

         当前状态储存的值为在当前状态的情况下所需要的最少距离，这个值的转移方程为：

               f[cur]=min{f[pre]+dis[pre][cur]} (要求：pre状态可以转移到cur状态，dis[pre][cur]为删除的虚拟边的距离) 

【代码】

使用压缩状态动归的记忆化搜索算法

#include <stdio.h>
#include <string.h>
const int maxn=0xffffff;
int map[20][20];
int du[20],dp[1<<16];
int n,m;
int sum;
inline int min(int a,int b)
{
    return a>b?b:a;
}
void insert(int x,int y,int d)
{
    if (d<map[x][y]) map[x][y]=map[y][x]=d;
    sum+=d;
    ++du[x];
    ++du[y];
}
void floyed()
{
    for (int k=0; k<n; ++k)
        for  (int i=0; i<n; ++i)
            for  (int j=0; j<n; ++j)
            {
                if (i==j||j==k||i==k) continue;
                map[i][j]=min(map[i][j],map[i][k]+map[k][j]);
            }
}
int search(int st)
{
    if (st==0) return 0;
    if (dp[st]) return dp[st];
    int ans=maxn,tem;
    for (int i=0; i<n-1; ++i)
        if (st & (1<<i))
            for (int j=i+1; j<n; ++j)
            {
                if ((1<<j)&st)
                {
                    tem=search(st-(1<<i)-(1<<j))+map[i][j];
                    ans=min(ans,tem);
                }

            }
    return dp[st]=ans;
}
int main()
{
    while (~scanf("%d%d",&n,&m) && n)
    {
        sum=0;
        memset(du,0,sizeof du);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for (int i=0; i<n; ++i)
            for (int j=0; j<n; ++j) map[i][j]=maxn;
        int x,y,z;
        while (m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            insert(x-1,y-1,z);
        }
        floyed();
        int st=0;
        for (int i=0; i<n; ++i)
            if (du[i]%2==1) st|=(1<<i);
        sum+=search(st);
        printf("%d\n",sum);
    }

}