bzoj1923 [Sdoi2010]外星千足虫（gauss）

Description

Input
第一行是两个正整数 N, M。 接下来 M行，按顺序给出 Charles 这M次使用“点足机”的统计结果。每行 包含一个“01”串和一个数字，用一个空格隔开。“01”串按位依次表示每只虫 子是否被放入机器：如果第 i 个字符是“0”则代表编号为 i 的虫子未被放入，“1” 则代表已被放入。后面跟的数字是统计的昆虫足数 mod 2 的结果。 由于 NASA的实验机器精确无误，保证前后数据不会自相矛盾。即给定数据 一定有解。

Output
在给定数据存在唯一解时有 N＋1行，第一行输出一个不 超过M的正整数K，表明在第K 次统计结束后就可以确定唯一解；接下来 N 行 依次回答每只千足虫的身份，若是奇数条足则输出“?y7M#”（火星文），偶数 条足输出“Earth”。如果输入数据存在多解，输出“Cannot Determine”。 所有输出均不含引号，输出时请注意大小写。

Sample Input
3 5
011 1
110 1
101 0
111 1
010 1

Sample Output
4
Earth
?y7M#
Earth

HINT
对于 20%的数据，满足 N＝M≤20；
对于 40%的数据，满足 N＝M≤500；
对于 70%的数据，满足 N≤500，M≤1,000；
对于 100%的数据，满足 N≤1,000，M≤2,000。

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分析：
所有计算都是在mod 2意义下进行的
所以肯定就不能用简单的线性方程来求解了
因为异或（XOR）运算与“奇偶性”密切相关，所以这里用的是异或方程

XOR
相同为0，不同为1

形如：
a1*x1 XOR a2*x2 XOR … XOR an*xn = b1
方程中的所有变量都是0或1
操作方法还是比较简单的，把所有的+变成了XOR

高斯消元：
设置一个变量now，一开始now=1
i从1到n，每次执行：
若在第now个及以后的方程中，至少有一个方程的xi系数为1，设为第to个方程，
则先将第now，to个方程交换，
用第now个方程去XOR后面剩下的所有xi系数为1的方程
（各系数包括b都对应进行XOR运算，实际上就是矩阵初等行变换）
将它们的xi系数均变成0，
最后now++

tip

判断是否多解得语句

if (to>m) return 0;   
//now<n,不能形成三角矩阵，存在n-now个自由元，所以有多组解  

在异或的时候，只有当前元素的系数不为0的方程需要异或

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

const double eps=1e-10;
int n,m,ans;
int a[2002][2002];
char s[1002];

int gauss()
{
    double t;
    int to,now=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)  //枚举未知量 
    {
        for (to=now;to<=m;to++)   //计算第i个千足虫，所以a[to][i]即第i个千足虫的系数不能为0  
            if (a[to][i]) break;
        if (to>m) return 0;   //now<n,不能形成三角矩阵，存在n-now个自由元，所以有多组解  

        ans=max(ans,to);   //统计答案 

        if (to!=now)
            for (int j=1;j<=n+1;j++)
                swap(a[to][j],a[now][j]);

        for (int j=1;j<=m;j++)   //一共有m个方程 
            if (j!=now&&a[j][i])   //a[j][i]  只有i的系数不为0的方程需要XOR 
                for (int k=1;k<=n+1;k++)
                    a[j][k]^=a[now][k];
        now++;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s",&s);
        for (int j=0;j<strlen(s);j++)
            a[i][j+1]=s[j]-'0';
        scanf("%d",&a[i][n+1]);
    }
    if (gauss())
    {
        printf("%d
",ans);
        for (int i=1;i<n;i++)
            if (fabs(a[i][n+1])<eps) printf("Earth
");
            else printf("?y7M#
");
        if (fabs(a[n][n+1])<eps) printf("Earth
");
        else printf("?y7M#
");
    }
    else printf("Cannot Determine
");
    return 0;
}