多边形游戏-DP

Description

　　多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点组成的多边形。每个顶点赋予一个整数（不超过整型范围），每条边赋予一个运算符号“+”或“*”。所有的边按顺时针从0~n-1编号。在游戏的第一步，删除一条边，随后的n-1步按如下方式操作：
　　（1）选择一条边E及由E相连的顶点V1，V2;
　　（2）用一个新的顶点替代E及V1,V2，新顶点为v1与V2采用E的运算所得值。
　　当所有边被删除时游戏结束。游戏的得分就是最后那个顶点的值。问题：对于给定的多边形，计算其最高得分。

Input

　　第 1 行：一个整数N (1 <= N <= 50), 表示顶点数；
　　第 2 行为一串字符表示顶点及边的序列如1+325+，该序列肯定正确，不必验证

Output

　　输出仅一个整数，表示最高得分

Sample Input1

3
2+3*2+

Sample Output1

12

Sample Input2

4
4*5+5+3+

Sample Output2

70

看清输入输出，谨慎食用

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思路：

• DP题
• 环状结构通常处理方法：拆开复制两倍
• f[i][j][1]表示：删除i_{j后的最大值，f[i][j][0]表示：删除i}j后的最小值
• 加法可直接有已完成状态最大值转移；而乘法则有四种可能，因为有负数存在

注意：

注意初始化最小最大值

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define maxn 105
using namespace std;
long long v[maxn],n,f[maxn][maxn][2];
char e[maxn];
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(long long i=1;i<=n;++i) scanf("%lld%c",&v[i],&e[i]);
	for(int i=1;i<=2*n;++i)
		for(int j=i+1;j<=2*n;++j) f[i][j][0]=(1ll<<62);
	for(int i=1;i<=2*n;++i)
		for(int j=i+1;j<=2*n;++j) f[i][j][1]=-(1ll<<62);
	for(long long i=1;i<=n;++i) e[i+n]=e[i],f[i+n][i+n][0]=f[i+n][i+n][1]=f[i][i][0]=f[i][i][1]=v[i];//复制两倍
	for(long long len=2;len<=n;++len)//长度
		for(long long i=1;i<=2*n-len+1;++i)//左端
		{
			long long j=i+len-1;//右端
			for(long long k=i;k<j;++k)//松弛操作
			{
				long long a=f[i][k][0],b=f[k+1][j][0],c=f[i][k][1],d=f[k+1][j][1];
				if(e[k]=='+')
				{
					f[i][j][0]=min(f[i][j][0],a+b);
					f[i][j][1]=max(f[i][j][1],c+d);
				}
				if(e[k]=='*')
				{
					long long s[4]={a*b,a*d,c*b,c*d};
					sort(s,s+4);
					f[i][j][0]=min(f[i][j][0],s[0]);
					f[i][j][1]=max(f[i][j][1],s[3]);
				}
			}
		}
	long long ans=0;
	for(long long i=1;i<=n;++i) ans=max(ans,f[i][i+n-1][1]);
	printf("%lld
",ans);
}

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