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Solution
看到恰好这一关键词，容易想到二项式反演，那么接下来就上套路。令 (F(x)) 表示先强制 (k) 对情侣和睦，剩下的人随便安排座位的方案。
[F(x)=inom{n}{x}^2x!2^x(2n-2x)!
]
上式组合意义为先令其中特定 (x) 行是和睦的（(inom{n}{x}) 种），然后选 (x) 对情侣分别和这些排匹配（(inom{n}{x}x!) 种），一对情侣的顺序可以交换（(2^x) 种），剩下的人随便填（((2n-2x)!) 种）。
令 (G(x)) 表示恰好有 (x) 对情侣是和睦的的方案数，容易知道
[F(x)=sum_{i=x}^n inom{i}{x} G(i)
]
那么
[G(x)=sum_{i=x}^n (-1)^{i-x} inom{i}{x} F(i)=sum_{i=x}^n (-1)^{i-x} inom{i}{x} inom{n}{i}^2i!2^i(2n-2i)!
]
求 (G(x)) 是 (O(n)) 的，每次询问求 (n) 次，总复杂度 (O(Tn^2))，显然过不了，考虑优化。
将二项式系数展开成阶乘，再将无关变量提到前面，有
[G(x)=sum_{i=x}^n (-1)^{i-x}2^i frac{i!n!n!i!(2n-2i)!}{x!(i-x)!i!i!(n-i)!(n-i)!}=frac{(n!)^2}{x!}sum_{i=x}^n (-1)^{i-x}frac{2^i}{(i-x)!} inom{2n-2i}{n-i}
]
变换下指标
[G(x)=frac{2^x(n!)^2}{x!}sum_{i=0}^{n-x}inom{2n-2x-2i}{n-x-i}frac{(-2)^i}{i!}
]
如果把 (n-x) 看成一个整体，那么后面的和式就和 (n) 或 (x) 无关了，令
[g(m)=sum_{i=0}^m inom{2m-2i}{m-i}frac{(-2)^i}{i!}
]
把所有 (g(m)) 处理出来，复杂度 (O(n^2))，查询 (O(1))。那么
[G(x)=frac{2^x(n!)^2}{x!} g(n-x)
]
总复杂度 (O(n^2+Tn))
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[Tleq 2 imes 10^5，nleq 5 imes 10^6
]
单次询问改为只询问一个特定的 (k)。
Solution
需要快速求出 (g(m)) ，那么最好是能 (O(n)) 递推。令 (G(z)) 是序列 (<g(0)，g(1)，dots>) 的生成函数。观察到 (G(x)) 实际上是两个函数的卷积，
[G(z)=sum_{igeq 0} inom{2i}{i} z^i sum_{igeq 0} frac{(-2)^i}{i!} z^i
]
后面的显然是 (e^{-2z}) ，观察到前面的包含一个 (inom{2i}{i})，所以考虑可以由卡特兰数得到。卡特兰数是
[C_n=frac{inom{2n}{n}}{n+1}
]
其生成函数为
[C^{#}(z)=frac{1-sqrt{1-4z}}{2z}=sum_{igeq 0} C_i z^i
]
对其乘上一个 (z) 后再微分，实际上就是对每个 (C_i) 乘上一个 (i+1)，得到 (inom{2i}{i})
[sum_{igeq 0} inom{2i}{i} z^i=frac{d(zC^{#}(z))}{dz}=frac{1}{sqrt{1-4z}}
]
那么
[G(z)=frac{e^{-2z}}{sqrt{1-4z}}
]
对其微分
[G'(z)=frac{8ze^{-2z}}{(1-4z)^{frac{3}{2}}}=frac{8z}{1-4z}frac{e^{-2z}}{sqrt{1-4z}}=frac{8zG(z)}{1-4z}
]
得
[G'(z)=8zG(z)+4zG'(z)
]
展开为幂级数
[sum_{igeq 0} ig(i)z^{i-1}=8sum_{igeq 0}g(i)z^{i+1}+4sum_{igeq 0} ig(i) z^i
]
统一幂次（注意到左边当 (i=0) 时，式子为 (0)）
[sum_{igeq 0} (i+1)g(i+1)z^i=sum_{igeq 1}8g(i-1)z^i+sum_{igeq 0} 4ig(i) z^i
]
至此，我们得到了递推式
[g(n)=frac{4(n-1)}{n}g(n-1)+frac{8}{n}g(n-2) quad (ngeq 2）
]
以及 (g(0)=1) 和 (g(1)=0)，复杂度 (O(n+T))