1、 概述
Trie树,又称字典树,单词查找树或者前缀树,是一种用于快速检索的多叉树结构,如英文字母的字典树是一个26叉树,数字的字典树是一个10叉树。Trie一词来自retrieve,发音为/tri:/ “tree”,也有人读为/traɪ/ “try”。Trie树可以利用字符串的公共前缀来节约存储空间。如下图所示,该trie树用10个节点保存了6个字符串tea,ten,to,in,inn,int:
在该trie树中,字符串in,inn和int的公共前缀是“in”,因此可以只存储一份“in”以节省空间。当然,如果系统中存在大量字符串且这些字符串基本没有公共前缀,则相应的trie树将非常消耗内存,这也是trie树的一个缺点。Trie树的基本性质可以归纳为:
- 根节点不包含字符,除根节点以外每个节点只包含一个字符。
- 从根节点到某一个节点,路径上经过的字符连接起来,为该节点对应的字符串。
- 每个节点的所有子节点包含的字符串不相同。
2、 Trie树的基本实现
字母树的插入(Insert)、删除( Delete)和查找(Find)都非常简单,用一个一重循环即可,即第i次循环找到前i个字母所对应的子树,然后进行相应的操作。实现这棵字母树,我们用最常见的数组保存(静态开辟内存)即可,当然也可以开动态的指针类型(动态开辟内存)。 至于结点对儿子的指向,一般有三种方法:
- 对每个结点开一个字母集大小的数组,对应的下标是儿子所表示的字母,内容则是这个儿子对应在大数组上的位置,即标号;
- 对每个结点挂一个链表,按一定顺序记录每个儿子是谁;
- 使用左儿子右兄弟表示法记录这棵树。
三种方法,各有特点。第一种易实现,但实际的空间要求较大;第二种,较易实现,空间要求相对较小,但比较费时;第三种,空间要求最小,但相对费时且不易写。
3、 Trie树的高级实现
可以采用双数组(Double-Array)实现。利用双数组可以大大减小内存使用量,具体实现细节见参考资料(5)(6)。
4、 Trie树的应用
Trie是一种非常简单高效的数据结构,但有大量的应用实例。
(1) 字符串检索
事先将已知的一些字符串(字典)的有关信息保存到trie树里,查找另外一些未知字符串是否出现过或者出现频率。
举例:
- 给出N个单词组成的熟词表,以及一篇全用小写英文书写的文章,请你按最早出现的顺序写出所有不在熟词表中的生词。
- 给出一个词典,其中的单词为不良单词。单词均为小写字母。再给出一段文本,文本的每一行也由小写字母构成。判断文本中是否含有任何不良单词。例如,若rob是不良单词,那么文本problem含有不良单词。
(2)字符串最长公共前缀
Trie树利用多个字符串的公共前缀来节省存储空间,反之,当我们把大量字符串存储到一棵trie树上时,我们可以快速得到某些字符串的公共前缀。
举例:
- 给出N个小写英文字母串,以及Q个询问,即询问某两个串的最长公共前缀的长度是多少?
解决方案:首先对所有的串建立其对应的字母树。此时发现,对于两个串的最长公共前缀的长度即它们所在结点的公共祖先个数,于是,问题就转化为了离线(Offline)的最近公共祖先(Least Common Ancestor,简称LCA)问题。
而最近公共祖先问题同样是一个经典问题,可以用下面几种方法:
- 利用并查集(Disjoint Set),可以采用采用经典的Tarjan 算法;
- 求出字母树的欧拉序列(Euler Sequence )后,就可以转为经典的最小值查询(Range Minimum Query,简称RMQ)问题了;(关于并查集,Tarjan算法,RMQ问题,网上有很多资料。)
(3)排序
Trie树是一棵多叉树,只要先序遍历整棵树,输出相应的字符串便是按字典序排序的结果。给你N个互不相同的仅由一个单词构成的英文名,让你将它们按字典序从小到大排序输出。
(4) 作为其他数据结构和算法的辅助结构
如后缀树,AC自动机等
5、 Trie树复杂度分析
- 插入、查找的时间复杂度均为O(N),其中N为字符串长度。
- 空间复杂度是26^n级别的,非常庞大(可采用双数组实现改善)。
6、 总结
Trie树是一种非常重要的数据结构,它在信息检索,字符串匹配等领域有广泛的应用,同时,它也是很多算法和复杂数据结构的基础,如后缀树,AC自动机等,因此,掌握Trie树这种数据结构,对于一名IT人员,显得非常基础且必要!
7.简单实现
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package IO; public class Trie { private int SIZE = 26; private TrieNode root;// 字典树的根 Trie(){ // 初始化字典树 root = new TrieNode(); } private class TrieNode{ //字典树节点 private int num;// 有多少单词通过这个节点,即由根至该节点组成的字符串模式出现的次数 private TrieNode[] son;// 所有的儿子节点 private boolean isEnd;// 是不是最后一个节点 private char val;// 节点的值 TrieNode() { num = 1; son = new TrieNode[SIZE]; isEnd = false; } } // 建立字典树 public void insert(String str){// 在字典树中插入一个单词 if (str == null || str.length() == 0) { return; } TrieNode node = root; char[] letters = str.toCharArray(); for (int i = 0, len = str.length(); i < len; i++) { int pos = letters[i] - 'a'; if (node.son[pos] == null) { node.son[pos] = new TrieNode(); node.son[pos].val = letters[i]; } else { node.son[pos].num++; } node = node.son[pos]; } node.isEnd = true; } // 计算单词前缀的数量 public int countPrefix(String prefix) { if (prefix == null || prefix.length() == 0) { return -1; } TrieNode node = root; char[] letters = prefix.toCharArray(); for (int i = 0, len = prefix.length(); i < len; i++) { int pos = letters[i] - 'a'; if (node.son[pos] == null) { return 0; } else { node = node.son[pos]; } } return node.num; } // 打印指定前缀的单词 public String hasPrefix(String prefix) { if (prefix == null || prefix.length() == 0) { return null; } TrieNode node = root; char[] letters = prefix.toCharArray(); for (int i = 0, len = prefix.length(); i < len; i++) { int pos = letters[i] - 'a'; if (node.son[pos] == null) { return null; } else { node = node.son[pos]; } } preTraverse(node, prefix); return null; } // 遍历经过此节点的单词. public void preTraverse(TrieNode node, String prefix) { if (!node.isEnd) { for (TrieNode child : node.son) { if (child != null) { preTraverse(child, prefix + child.val); } } return; } System.out.println(prefix); } // 在字典树中查找一个完全匹配的单词. public boolean has(String str) { if (str == null || str.length() == 0) { return false; } TrieNode node = root; char[] letters = str.toCharArray(); for (int i = 0, len = str.length(); i < len; i++) { int pos = letters[i] - 'a'; if (node.son[pos] != null) { node = node.son[pos]; } else { return false; } } return node.isEnd; } //前序遍历字典树. public void preTraverse(TrieNode node) { if (node != null) { System.out.print(node.val + "-"); for (TrieNode child : node.son) { preTraverse(child); } } } public TrieNode getRoot() { return this.root; } public static void main(String[] args) { Trie tree = new Trie(); String[] strs = { "banana", "band", "bee", "absolute", "acm", }; String[] prefix = { "ba", "b", "band", "abc", }; for (String str : strs) { tree.insert(str); } System.out.println(tree.has("abc")); tree.preTraverse(tree.getRoot()); System.out.println(); for (String pre : prefix) { int num = tree.countPrefix(pre); System.out.println(pre + "" + num); } } }