杜教筛

前置姿势

Mobius反演

杜教筛

下面考虑一个问题，你手里有一个积性函数(f(n))，定义(S_f(n)=sumlimits_{i=1}^n f(i))（即(f)的前缀和）。

对与一个(n)，你现在要快速求出(S_f(n))，假设线性筛都死了

我们先随便找一个积性函数(g)，然后跟(f)卷上，得到第三个积性函数(h=f*g)，那么

[h(n)=sumlimits_{dmid n} f(d)g(frac{n}{d}) ]

考虑求(S_h(n))，推柿子

[egin{aligned}S_h(n)&=sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{dmid i} f(frac{i}{d})g(d) \&=sumlimits_{d} g(d) sumlimits_{i=1}^{lfloor n/d floor} f(i) \&=sumlimits_{d=1}^n g(d)S_f(lfloor frac{n}{d} floor)end{aligned} ]

因为(g)是积性函数，必然有(g(1)=1)，所以

[S_f(n)=g(1)S_f(n)=S_h(n)-sumlimits_{i=2}^n g(i)S_f(lfloor frac{n}{i} floor) ]

如果说(h)和(g)的前缀和能快速求出来的话，后面那一部分我们只要数论分块就好了，这样就能做到在非线性时间内求出(f)的前缀和。

具体的复杂度并不会算qwq......好像说裸的杜教筛是(O(n^{3/4}))的，但如果筛出前(n^{2/3})个前缀和后就变成(O(n^{2/3}))了，总之尽可能多的线性筛出能处理的答案，这样复杂度并不会差，杜教筛的时候记忆化就好了。

扯了那么多，来看板子题吧：[模板]杜教筛

让你求(varphi)和(mu)的前缀和，(n le 2^{31}-1)，所以说线性筛死了......

考虑杜教筛，我们先来看莫比乌斯函数好了

考虑到(sumlimits_{dmid n} mu(d) = varepsilon(n))，即(mu*I=varepsilon)，取(g=I)，与(mu)卷积后得到单位元函数，我们知道对于(nge 1)，(S_{varepsilon}(n)equiv 1)，这个就非常nice，然后(I)的前缀和就是(n)，套柿子

[S_{mu}(n)=S_{varepsilon}(n)-sumlimits_{i=2}^n I(i)S_{mu}(lfloorfrac{n}{i} floor)=1-sumlimits_{i=2}^n S_{mu}(lfloor frac{n}{i} floor) ]

记忆化然后数论分块即可。

然后是(varphi)，有式子(sumlimits_{dmid n} varphi(d)=n)，这里给出一个简(gan)单(xing)的证(li)明(jie)

显然(n=sumlimits_{dmid n} sumlimits_{i=1}^n [gcd(n,i)=d])，后面的柿子也就是(sumlimits_{i=1}^{n/d} [gcd(n,i)=1]=varphi(frac{n}{d}))，所以(n=sumlimits_{dmid n} varphi(frac{n}{d})=sumlimits_{dmid n} varphi(d))

于是(varphi*I=id)，怎么有是I，于是取(g=I)，得到(h=varphi*I=id)，套柿子

[S_{varphi}(n)=S_{id}(n)-sumlimits_{i=2}^n I(i)S_{varphi}(lfloorfrac{n}{i} floor)=frac{1}{2}n(n+1)-sumlimits_{i=2}^n S_{varphi}(lfloorfrac{n}{i} floor) ]

同样记忆化+数论分块就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);++i)
#define per(i,a,b) for (int i=(a)-1;i>=(b);--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;

const int maxn=2e6,N=maxn+10;
int p[N],pn;
ll mu[N],phi[N],smu[N],sphi[N];
bitset<N> vis;

inline ll s1(ll l,ll r) {return 1ll*(r-l+1)*(l+r)/2;}

void init(int n) {
    mu[1]=1,phi[1]=1;
    rep(i,2,n+1) {
        if(!vis[i]) {
            mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
            p[pn++]=i;
        }
        for(int j=0;j<pn&&i*p[j]<=n;j++) {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[i*p[j]]=0;
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            else mu[i*p[j]]=-mu[i],phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
    rep(i,1,n+1) smu[i]=smu[i-1]+mu[i],sphi[i]=sphi[i-1]+phi[i];
}

map<int,ll> phisum,musum;
ll Sphi(int n) {
    if(n<=maxn) return sphi[n];
    if(phisum.count(n)) return phisum[n];
    ll ans=s1(1,n);
    for(ll l=2,r=0;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans-=Sphi(n/l)*(r-l+1);
    }
    return phisum[n]=ans;
}
ll Smu(int n) {
    if(n<=maxn) return smu[n];
    if(musum.count(n)) return musum[n];
    ll ans=1;
    for(ll l=2,r=0;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans-=Smu(n/l)*(r-l+1);
    }
    return musum[n]=ans;
}

int main() {
    init(maxn);
    int _,n; for(scanf("%d",&_);_;_--) {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld %lld
",Sphi(n),Smu(n));
    }
    return 0;
}