https://www.luogu.com.cn/problem/P2791
卡时间卡空间的duliu题（
但NMSL好评
考虑一次询问(n,m,k)，由于是随机选的球，所以期望就是所有方案的权值和 / 方案数
枚举有多少没气的
[frac{1}{inom{n}{k}}sumlimits_{i=0}^k inom{m}{i}inom{n-m}{k-i} i^L
]
跑掉前面那个不管，我们来看后面
有个(i^L)我算个啥啊，把那玩意儿用第二类斯特林数展开
[egin{aligned} &quad sumlimits_{i=0}^k inom{m}{i} inom{n-m}{k-i} i^L \ &= sumlimits_{i=0}^{k} inom{m}{i} inom{n-m}{k-i} sumlimits_{j=0}^{i} inom{i}{j} egin{Bmatrix} L \ j end{Bmatrix} j! \ &= sumlimits_{j=0}^k egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j! sumlimits_{i=j}^{k} inom{m}{i}inom{i}{j} inom{n-m}{k-i} \ &= sumlimits_{j=0}^{k} egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!sumlimits_{i=j}^k inom{m}{j}inom{m-j}{i-j}inom{n-m}{k-i} \ &= sumlimits_{j=0}^{k} inom{m}{j}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!sumlimits_{i=j}^kinom{m-j}{i-j}inom{n-m}{k-i} \ &= sumlimits_{j=0}^{k} inom{m}{j}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!sumlimits_{i=0}^{k-j}inom{m-j}{i}inom{n-m}{k-i-j} end{aligned}
]
然后后面是一个范德蒙德卷积）
大概长这样
[sumlimits_{i=0}^n inom{a}{i}inom{b}{n-i} = inom{a+b}{n}
]
感性理解一下就是两坨东西，各有(a,b)个，然后枚举第一堆里选(i)个第二堆里选(n-i)个，共选(n)个出来，就是(C(a+b,n))
所以
[egin{aligned}&quad sumlimits_{j=0}^{k} inom{m}{j}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!sumlimits_{i=0}^{k-j}inom{m-j}{i}inom{n-m}{k-i-j} \ &= sumlimits_{j=0}^{k} inom{m}{j}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!inom{n-j}{k-j} \ &= sumlimits_{j=0}^{k} inom{m}{j}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!inom{n-j}{n-k}end{aligned}
]
实际上(j)只需要跑到(min {L,m,k})（(m le n)）
于是FFT求出第(L)行的第二类斯特林数，枚举(j)累加答案
但是
这duliu出题人卡了时间
众所周知，取模特别特别的慢，所以我们考虑给组合数约分，即
[Ans = frac{k!(n-k)!}{n!}sumlimits_{j=0}^{L} frac{m!}{j!(m-j)!}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}j!frac{(n-j)!}{(n-k)!(k-j)!}
]
先约分，然后把与(j)无关的提到外面，可以得到
[Ans = frac{k!m!}{n!} sumlimits_{j=0}^{L} frac{(n-j)!}{(m-j)!(k-j)!}egin{Bmatrix}L \ jend{Bmatrix}
]
大大减少了做乘法和取模的次数）
还有就是在求逆元的时候，用乘法逆元2的方法，可以减少取模次数
然后在求第二类斯特林数的时候那个(L)次幂可以线性筛预处理出来
这样应该能卡过去了，Code