快速沃尔什变换小记

概述

(FWT)是用来处理集合卷积的问题。也就是求解(f(n)sumlimits_{i|j=n}f(i)f(j))类型的问题。其中或运算可以改为(otimes,&)。

寻找点值

因为总是看不下去那么长的推导，所以每次都是看到一半。然后就在加上自己的一点理解，简单推导一下吧（背过结论就行）

以或运算为例。为什么说是集合卷积呢。因为或运算等价于求集合并。也就是求(f(n)sumlimits_{icup j=n}f_1(i)f_2(j)) 。

那么我们类似于(FFT)，先将他转化为点值，然后进行乘法运算后，在转换回来。

如何转化为点值呢。或者说他的点值长什么样子呢。

我们求一个(g(n)=sumlimits_{ssubseteq n}f(n))。然后我们求一下(g(n))的乘积。

我们令(g_1)表示(f_1)转化后的结果，(g_2)表示(f_2)转化或的结果，(g)表示卷积(f)转化后的结果。

也就是(g_1(n)g_2(n)=sumlimits_{s_1subseteq n}f_1(s_1)sumlimits_{s_2subseteq n}f_2(s_2)=sumlimits_{s_1,s2subseteq n}f_1(s_1)f_2(s_2)=sumlimits_{s_1cup s_2subseteq n}f_1(s_1)f_2(s_2)=g(n))

所以(g(n)=sumlimits_{ssubseteq n}f(n))就是我们要的点值表达式！

相互转化

有了点值之后我们还需要在点值与多项式之间相互转化，那么应该怎么转化呢。

其实很简单，观察(g(n)=sumlimits_{ssubseteq n}f(n))。这个式子，其实就是一个高维前缀和嘛。。

然后转化回去同样的来个高维差分就ok了。

高维前缀和代码如下:

void fwt_or(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i) 
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j) 
			if(!((j >> i) & 1)) 
				a[j | (1 << i)] += a[j];
}

对于另外两种运算

对于(otimes)和(&)。与(|)类似，也有不同之处。因为(&)表示的是集合交，所以他是枚举超集和而不是子集和。

至于(otimes)，背板子吧我也不会推导啊qwq

板子

板子里面，(xs=1)时表示(FWT)，即将多项式转化为点值。(xs=-1)时表示(IFWT)，即将点值转化回多项式。

或运算

void fwt_or(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i)
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
			if(!((j >> i) & 1))
				a[j | (1 << i)] += xs * a[j];
}

and运算

void fwt_and(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i)
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
			if(!((j >> i) & 1))
				a[j] += xs * a[j | (1 << i)];
}

异或运算

void fwt_xor(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i) {
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
			if(!((j >> i) & 1)) {
				int l = a[j],r = a[j | (1 << i)];
				a[j] = l + r;a[j] %= mod;
				a[j | (1 << i)] = l - r;a[j | (1 << i)] %= mod;
			}
		}
	}
	if(xs == -1) {
		int inv = qm(1 << n,mod - 2);
		for(int i = 0;i < (1 << n);++i)
			a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
	}
}

小技巧

在很多题目中，需要进行多次(FWT)运算，我们不需要每次将数组来回转化，只要先将多项式转化为点值，然后对点值进行快速幂运算，最后在转化回去就行。

模板题

luogu4717

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2020-04-26 08:03:27
* @Last Modified time: 2020-04-26 08:43:59
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1 << 20,mod = 998244353;
ll read() {
	ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') f = -1; c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
	}
	return x * f;
}
int A[N],B[N],n;

void fwt_and(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i) {
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
			if(!((j >> i) & 1)) {
				a[j] += xs * a[j | (1 << i)];
				a[j] %= mod;
			}
		}
	}
}
void fwt_or(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i) {
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
			if(!((j >> i) & 1)) {
				a[j | (1 << i)] += xs * a[j];
				a[j | (1 << i)] %= mod;
			}
		}
	}
}

ll qm(ll x,ll y) {
	ll ret = 1;
	for(;y;y >>= 1,x = x * x % mod)
		if(y & 1) ret = ret * x % mod;
	return ret;
}
void fwt_xor(int *a,int xs) {
	for(int i = 0;i < n;++i) {
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
			if(!((j >> i) & 1)) {
				int l = a[j],r = a[j | (1 << i)];
				a[j] = l + r;a[j] %= mod;
				a[j | (1 << i)] = l - r;a[j | (1 << i)] %= mod;
			}
		}
	}
	if(xs == -1) {
		int inv = qm(1 << n,mod - 2);
		for(int i = 0;i < (1 << n);++i) {
			a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
		}
	}
}

int tmp1[N],tmp2[N];

int main() {
	n = read();
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) A[i] = read();
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) B[i] = read();

	memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
	memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
	fwt_or(tmp1,1);fwt_or(tmp2,1);
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
	fwt_or(tmp1,-1);
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");

	memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
	memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
	fwt_and(tmp1,1);fwt_and(tmp2,1);
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
	fwt_and(tmp1,-1);
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");

	memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
	memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
	fwt_xor(tmp1,1);fwt_xor(tmp2,1);
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
	fwt_xor(tmp1,-1);
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");
	return 0;
}