高维 FWT 学习笔记

除了 $K$ 进制不进位加法（ $Xor$ ），其它两种笔者并不知道可不可做，所以底下的都是说的不进位加法

考虑 $2$ 进制 $ ext{FWT}$ ，是把左边（设为 $a$ ）和右边 （设为 $b$ ），递归以后变成 $a'=a+b,b'=a-b$ ，再回到上面继续做

也就是每层左边第 $i$ 位和右边第 $i$ 位对这个矩阵进行线性变换：

egin{bmatrix} 1& 1\1& -1 end{bmatrix}

发现 $omega_2^1=-1$

就盲猜一波 $K$ 维线性变换矩阵就是 $a_{i,j}=omega_K^{i imes j}$ （ $0 le i,j < K$ ）

事实上手推一下发现确实也是这样，证明笔者也不会（，所以某种意义上就是存个板子在这里，顺便看看到底咋实现

namespace FWT{

    #define G 3
    #define MAXK 11

    int K,w[MAXK*MAXK];

    unsigned long long tmp[MAXK];

    inline void Xor(int N,int a[],int opt){
        for(int i=1;i<N;i*=K)
            for(int p=i*K,j=0;j<N;j+=p)
                for(int k=0;k<i;k++){
                    int l=j+k;
                    for(int p=0;p<K;p++){
                        int x=l+p*i;
                        for(int q=0;q<K;q++)
                            tmp[q]+=1ull*w[p*q]*a[x];
                    }
                    for(int p=0;p<K;p++)
                        a[l+i*p]=tmp[p]%mod,tmp[p]=0;
                }
        if(!opt)return;
        int invn=qpow(N,mod-2);
        for(int i=0;i<N;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*invn%mod;
    }

    inline void init(int Kk){
        K=Kk,w[0]=1;
        w[1]=qpow(G,(mod-1)/K);
        int lim=(K-1)*(K-1);
        for(int i=2;i<=lim;i++)
            w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%mod;
    }

}