独立集与顶点覆盖相互规约问题

目录

• 1.1 Theorem. INDEPENDENT-SET ≡ P VERTEX-COVER.
  • 1.1.1 证明充分性
  • 1.1.2 证明必要性

1.1 Theorem. INDEPENDENT-SET ≡ P VERTEX-COVER.

Pf. We show S is an independent set of size k iff V − S is a vertex cover
of size n – k.

如果图S有一个顶点个数为K的独立集存在的条件是：当且仅当V-S顶点覆盖的大小为n-k;

1.1.1 证明充分性

⇒

• Let S be any independent set of size k.
• V − S is of size n – k.
• Consider an arbitrary edge (u, v) ∈ E.
• S independent ⇒ either u ∉ S, or v ∉ S, or both.
  ⇒ either u ∈ V − S, or v ∈ V − S, or both.
  Thus, V − S covers (u, v).

设S的一个任意独立集大小为K，那么覆盖集大小是n-k(n为结点总数)。思考这样一条任意的边（u，v）∈ E.
从S的独立集可以推出我们所选的任意一条边都有这样的关系：改条边所连接的两个结点要么都不在独立集中，要么只有其中一个。
从V-S覆盖集角度可以推出->这条边的两个结点可能都在覆盖集中或者其中一个。充分性证毕！

1.1.2 证明必要性

⇐

• Let V − S be any vertex cover of size n – k.
• S is of size k.
• Consider an arbitrary edge (u, v) ∈ E.
• V − S is a vertex cover ⇒ either u ∈ V − S, or v ∈ V − S, or both.
  ⇒ either u ∉ S, or v ∉ S, or both.
  Thus, S is an independent set.

必要性的证明可以采用同样的方法任选一条边证明其两结点在覆盖集和独立集中的关系即可。