1243: CKJ老师爱数学
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题目描述
众所周知，CKJ老师非常热爱数学，他对于方程组的有自己的独到的研究，today，他抛给了你一个too simple的方程组x^2+y^2=z^2，z是一个已给的正整数，然后他毫不客气地问你，这个方程组的整数解有几个？
输入
包含一个整数T表示输入数据组数，
接下来T行每行一个整数z（z<=2000 000 000）
输出
每行一个整数表示方程组的解的个数
样例输入
1
4
样例输出
4
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自认为这是xdoj上思考最多的一道题： 网上好像有这样题的公式，但做题最要的不是理解学习心得知识吗。
首先我贴出一些知识点：
1） 定理 1 x2 + y2 = z2 的互質整數解為 x=2uv, y=u2-v2, 
， 其中 u, v 是任意互質整數，且 u, v 不同時為奇數。
證明 1 令 x, y, z 是互質正整數，且 x2 + y2 = z2。若 x 與 y 都是奇數，則 z 是偶數。故 x2 + y2 是 4l+2 的型式，z2 是 4l' 的型式（l 與 l' 是整數）。矛盾。
因此，不妨假定 x 是偶數，y 與 z 是奇數。
由 x2 = z2 - y2 = (z+y) (z-y)，令 x=2r, z-y = 2s, z+y = 2t。得 r2 = st。
s 與 t 互質，因 y 與 z 互質。但 st 是完全平方。故 s=u2 , t=v2。得證。
网址链接：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_07_4_01/page3.html
2）定理二：费马平方和定理 奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
3）定理三： (a^2+b^2)*(c^2+d^2)==(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
网址链接: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%AE%9A%E7%90%86
问题解决：
1 借助定理1 将x^2+y^2=z^2 转化为 x^2+y^2=n 有多少整数解
2 每个整数解我们可以看出是由本原解组成（三个数互质）【 3，4，5】是，而【6，8，10】不是
3 z=p1^k1*p2^k2*....pn^kn
根据定理二 对于每个素数pk且满足pk%4==1 一个本原解 a^2+b^2==pk
对于每一个素数要么可以充当本原解的组成，要么组成解的因子
所以对于每一个因子可以有（2*sum+1) 种选择
eg (z==25 sum=2 有五种选择
1+4=5; 解得x=5^2*(2*u*v)=4*25=100; y=25*(u^2-v*2)=75;【一个5是因子，一个5组成本原解】
3^2+4^2=25 解得y=2uv=24; x=u*2-v*2=7; 【两个5都是本原解】
两个解调换位置 4个解
25全部作为因子 1个解
）
4 根据定理三 两个本原解可以合并乘一个本原解 所以不同因子之间是相乘关系
一共有 ans=∏ (2*pk+1)-1 本原解 【 减一是排除所有素数作为因子】
考虑正负号 ans*=4
再加上四个点 sum=ans+4; 【端点我们不认为是本原解】
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 const LL N=1e6+7; 7 LL p[N+1]; 8 int main () 9 { 10 for (LL i=2;i<=N;i++) { 11 if (!p[i]) p[++p[0]]=i; 12 for (LL j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++) { 13 p[i*p[j]]=1; 14 if (i%p[j]==0) break; 15 } 16 } 17 int T; 18 scanf ("%d",&T); 19 while (T--) { 20 LL x; 21 scanf("%lld",&x); 22 LL i=1; 23 LL ans=1; 24 while (p[i]*p[i]<=x) { 25 LL sum=0; 26 if (x%p[i]==0) { 27 while (x%p[i]==0) { 28 sum++; 29 x=x/p[i]; 30 } 31 if (p[i]%4==1) 32 ans=ans*(2*sum+1); 33 } 34 i++; 35 } 36 if(x!=1&&(x%4==1)) ans=ans*3; 37 printf("%lld ",(ans-1)*4+4); 38 } 39 return 0; 40 }
这完全是我自己的理解，可能存在说的不清晰地方或者不严谨，请
多多指教；