【PKUSC2018】【loj6433】最大前缀和 状压dp

这题吼啊...

然而还是想了$2h$，写了$1h$。

我们发现一个性质：若一个序列$p$能作为前缀和，那么在序列$p$中，包含序列$p$最后一个数的所有子序列必然都是非负的。

那么，我们

令$f[i]$表示状态$i$中所有数字全部作为前缀和的方案数。

令$g[i]$表示状态$i$中所有数字所组合成的任意排列中，前缀和永远为负数的方案数。

令$s[i]$表示状态$i$中所有数字之和。

ps：若i的第j个二进制位为$1$，则表示状态$i$中，选择了数字$a_j$。（$a$序列的下表为$0$到$n-1$）

 

通过冷静分析，不难得出：

$s[i]$很好求

$f[i]=sum_{(2^j and i)=2^j∩s[i-2^j]+a[j]≥0} f[i-2^j]$

$g[i]=sum_{(2^j and i)=2^j∩s[i-2^j]+a[j]<0} g[i-2^j]$

显然$f[0]=g[0]=1$。

统计答案时，分前缀和$≥0$，前缀和$<0$两类讨论。

当前缀和$≥0$时

$ans1=sum_{i=1}^{2^n-1} s[i] imes f[i] imes g[2^n-1-i] $

当前缀和<0时

$ans2=sum_{j=0}^{n=1} sum_{i=0} (a[j]+s[i]) imes f[i] imes g[2^n-1-i-2^j] [(2^j and i=0)∩s[i]<0∩s[i]>-a[j]]$

最终所求答案即$ans1+ans2$。

然后就完结了。

时间复杂度为$O(n imes 2^n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 20
#define L long long
#define MOD 998244353
using namespace std;

L f[1<<M]={0},g[1<<M]={0},a[M]={0},he[1<<M]={0};

int main(){
    int n,m; scanf("%d",&n); m=1<<n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=0;i<m;i++)
    for(int j=0;j<n;j++) 
    if(i&(1<<j)) he[i]+=a[j];
    f[0]=1; 
    for(int i=1;i<m;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
        if((i&(1<<j))&&he[i^(1<<j)]+a[j]>=0){
            f[i]=(f[i]+f[i^(1<<j)])%MOD;
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=-a[i];
    for(int i=0;i<m;i++) he[i]=-he[i];
    g[0]=1;
    for(int i=1;i<m;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
        if((i&(1<<j))&&he[i^(1<<j)]+a[j]>0){
            g[i]=(g[i]+g[i^(1<<j)])%MOD;
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=-a[i];
    for(int i=0;i<m;i++) he[i]=-he[i];
    L ans=0;
    for(int j=0;j<n;j++) if(a[j]<0){
        //f[1<<j]=1;
        for(int i=0;i<m;i++)
        if((i&(1<<j))==0){
            if(he[i]<0||he[i]>-a[j]) continue;
            int hh=(m-1)^i^(1<<j);
            ans=(ans+(a[j]+he[i])*f[i]%MOD*g[hh]%MOD+MOD)%MOD;
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    ans=(ans+f[i]*he[i]%MOD*g[(m-1)^i]%MOD+MOD)%MOD;
    cout<<ans<<endl;
}