根据维基百科定义，质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数在公钥加密算法（如RSA）中有重要的地位。
下边将会介绍几种较为常见的判断质/素数的方法：
1. 法一：最直接也最笨的方法
法一是按照质数的定义来考虑的，具体程序见下：
1 //*********************************** method 1 ***********************************// 2 bool IsPrime::isPrime_1(uint num) 3 { 4 bool ret = true; 5 for (uint i = 2; i < num - 1; i++) 6 { 7 if (num % i == 0) 8 { 9 ret = false; 10 break; 11 } 12 } 13 14 return ret; 15 }
2. 法二：将循环判断次数减少一半（大约）
对于一个正整数num而言，它对(num/2, num)范围内的正整数是必然不能够整除的，因此，我们在判断num的时候，没有必要让它除以该范围内的数。代码如下：
1 //*********************************** method 2 ***********************************// 2 bool IsPrime::isPrime_2(uint num) 3 { 4 bool ret = true; 5 uint ubound = num / 2 + 1; 6 for (uint i = 2; i < ubound; i++) 7 { 8 if (num % i == 0) 9 { 10 ret = false; 11 break; 12 } 13 } 14 15 return ret; 16 }
3. 法三：在法二的基础上继续提高
对于一个小于num的正整数x，如果num不能整除x，则num必然不能整除num/x （num = num/x * x）。反之相同。我们又知num =√num*√num。 如果n除以大于√num的数，必得到小于√num的商，而小于√num的整数已经在2到√num的整数试过了，因为就没有必要再试（√num, num）范围内的数了。代码如下：
注：经常会看到别人说“一个数 n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过sqrt(n)”。这句话是错误的。举一个例子，16的因子包括了1、2、4、8，但很明显8>√16。另外，因子跟因数是不一样的，因数还会包括数本身，如16的因数为1、2、4、8、16。
1 //*********************************** method 3 ***********************************// 2 bool IsPrime::isPrime_3(uint num) 3 { 4 bool ret = true; 5 uint ubound = sqrt(num) + 1; 6 for (uint i = 2; i < ubound; i++) 7 { 8 if (num % i == 0) 9 { 10 ret = false; 11 break; 12 } 13 } 14 15 return ret; 16 }
4. 法四：考虑偶数的因素
我们都知道，除了2之外，其他所有的偶数（正整数）全都不是质数，因为它们都能被2整除。代码改进如下：
1 //*********************************** method 4 ***********************************// 2 bool IsPrime::isPrime_4(uint num) 3 { 4 bool ret = true; 5 if (num == 2) 6 return ret; 7 8 // it is no need to consider even numbers larger than 2 9 if (num % 2 != 0) 10 { 11 uint ubound = sqrt(num) + 1; 12 for (uint i = 2; i < ubound; i++) 13 { 14 if (num % i == 0) 15 { 16 ret = false; 17 break; 18 } 19 } 20 } 21 else 22 { 23 ret = false; 24 } 25 26 return ret; 27 }
5. 法五：埃拉托斯特尼筛选法
当我们判断某个取值范围内的素数有哪些的时候，有一个方法非常可行，就是埃拉托斯特尼筛选法。这个算法效率很高，但占用空间较大。
我们知道，一个素数p只有1和p这两个约数，并且它的约数一定不大于其本身。因此，我们下边方法来筛选出来素数：
1）把从2开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列；
2）剩下的数中选择最小的素数，然后去掉它的倍数。
3）依次类推，直到循环结束。
这种筛选法动态图如下：
程序如下：
1 //*********************************** method 5 ***********************************// 2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound) 3 vector<uint> IsPrime::retPrime_5(uint lbound, uint ubound) 4 { 5 assert(lbound >= 0); 6 assert(ubound >= 0); 7 assert(lbound <= ubound); 8 9 vector<bool> isprime; 10 for (int i = 0; i < ubound; i++) 11 isprime.push_back(true); 12 13 for (int i = 2; i < ubound; i++) 14 { 15 for (int j = i + i; j < ubound; j += i) 16 { 17 isprime[j] = false; 18 } 19 } 20 21 vector<uint> ret; 22 for (int i = lbound; i < ubound; i++) 23 { 24 if (i != 0 && i != 1 && isprime[i]) 25 ret.push_back(i); 26 } 27 28 return ret; 29 }
6. 法六：去除法五中不必要的循环
对于法五来说，即使isprime中已经被判断为false的元素，它以及它的倍数还会被重新赋值为false（可能会有很多遍），而实际上已经没有必要这样子做。例如，第2个元素的倍数第4、6、8、10...个元素已经被判定为false，但循环到第4个元素的时候，第8、12、16...个元素还会被重新赋值，这有点重复。因此，我们要去掉这些重复的工作。代码比较简单，只需要加一语句即可，见下：
1 //*********************************** method 6 ***********************************// 2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound) 3 vector<uint> IsPrime::retPrime_6(uint lbound, uint ubound) 4 { 5 assert(lbound >= 0); 6 assert(ubound >= 0); 7 assert(lbound <= ubound); 8 9 vector<bool> isprime; 10 for (int i = 0; i < ubound; i++) 11 { 12 if (i < 2) 13 isprime.push_back(false); 14 else 15 isprime.push_back(true); 16 } 17 18 for (int i = 2; i < ubound; i++) 19 { 20 if (isprime[i]) 21 { 22 for (int j = i + i; j < ubound; j += i) 23 { 24 isprime[j] = false; 25 } 26 } 27 } 28 29 vector<uint> ret; 30 for (int i = lbound; i < ubound; i++) 31 { 32 if (isprime[i]) 33 ret.push_back(i); 34 } 35 36 return ret; 37 }
7. 法七：大综合（结合法三及法六）
法七是结合了法三及法六，代码如下：
1 //*********************************** method 7 ***********************************// 2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound) 3 vector<uint> IsPrime::retPrime_7(uint lbound, uint ubound) 4 { 5 assert(lbound >= 0); 6 assert(ubound >= 0); 7 assert(lbound <= ubound); 8 9 vector<bool> isprime; 10 for (int i = 0; i < ubound; i++) 11 { 12 if (i < 2) 13 isprime.push_back(false); 14 else 15 isprime.push_back(true); 16 } 17 18 uint ulimit = sqrt(ubound) + 1; 19 for (int i = 2; i < ulimit; i++) 20 { 21 if (isprime[i]) 22 { 23 uint repeat = ubound / i; 24 for (int j = 2; j < repeat; j++) 25 { 26 isprime[i * j] = false; 27 } 28 } 29 } 30 31 vector<uint> ret; 32 for (int i = lbound; i < ubound; i++) 33 { 34 if (isprime[i]) 35 ret.push_back(i); 36 } 37 38 return ret; 39 }
整个程序代码（包括单元测试代码）见Github.
更多的方法请参见百度文库上的一篇文章。