“《算法导论》之‘排序’”：堆排序

　　关于堆排序的介绍主要引自一博文，比较详细的例子可参考另一博文。

　　动画演示可以参考一网页。

　　关于二叉堆，有一博文二叉堆(一)之 图文解析写的很清晰详细，很值得参考。

堆

　　堆给人的感觉是一个二叉树，但是其本质是一种数组对象，因为对堆进行操作的时候将堆视为一颗完全二叉树，树中每个节点与数组中的存放该节点值的那个元素对应。所以堆又称为二叉堆，堆与完全二叉树的对应关系如下图所示：

　　

　　通常给定节点i，可以根据其在数组中的位置求出该节点的父亲节点、左右孩子节点，这三个过程一般采用宏或者内联函数实现。书（《算法导论》）上介绍的时候，数组的下标是从1开始的，所以可得到：PARENT(i)=i/2　　LEFT(i) = 2*i 　　RIGHT(i) = 2*i+1。

　　注：个人在程序实现的时候默认是从0开始的，因此left = 2*i+1, right = 2*i+2。

　　根据节点数值满足的条件，可以将分为最大堆和最小堆。最大堆的特性是：除了根节点以外的每个节点i，有A[PARENT(i)] >= A[i],最小堆的特性是：除了根节点以外的每个节点i，有A[PARENT(i)] >=A[i]。

　　把堆看成一个棵树，有如下的特性：

　　1）含有n个元素的堆的高度是lgn。

　　2）当用数组表示存储了n个元素的堆时，叶子节点的下标是n/2+1，n/2+2，……，n。

　　3）在最大堆中，最大元素该子树的根上；在最小堆中，最小元素在该子树的根上。

保持堆的性质

　　堆个关键操作过程是如何保持堆的特有性质，给定一个节点i，要保证以i为根的子树满足堆性质。书中以最大堆作为例子进行讲解，并给出了递归形式的保持最大堆性的操作过程MAX-HEAPIFY（注：我的程序中名为adjustHeap）。先从看一个例子，操作过程如下图所示：　　

　　

　　从图中可以看出，在节点i=2时，不满足最大堆的要求，需要进行调整，选择节点2的左右孩子中最大一个进行交换，然后检查交换后的节点i=4是否满足最大堆的要求，从图看出不满足，接着进行调整，直到没有交换为止。

建堆

　　建立最大堆的过程是自底向上地调用最大堆调整程序将一个数组A[1.....N]变成一个最大堆。将数组视为一颗完全二叉树，从其最后一个非叶子节点（n/2）开始调整。调整过程如下图所示：

　　

堆排序算法

　　堆排序算法过程为：先调用创建堆函数将输入数组A[1...n]造成一个最大堆，使得最大的值存放在数组第一个位置A[1]，然后用数组最后一个位置元素与第一个位置进行交换，并将堆的大小减少1，并调用最大堆调整函数从第一个位置调整最大堆。给出堆数组A={4,1,3,16,9,10,14,8,7}进行堆排序简单的过程如下：

　　（1）创建最大堆，数组第一个元素最大，执行后结果下图：

　　（2）进行循环，从length(A)到1，并不断的调整最大堆，给出一个简单过程如下：

代码实现

void HeapSort::sort()
{
    buildHeap();
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        int hLen = len - i;
        // It is been done in buildHeap() when i =  0
        if (i != 0)
            adjustHeap(0, hLen);
        exchange(0, hLen - 1);
    }
}

void HeapSort::buildHeap()
{
    int n = 1;
    while (len > pow(2.0, n) - 1)
    {
        adjustHeap(0, len);
        n++;
    }
}

void HeapSort::adjustHeap(int start, int hLen)
{
    if (start >= hLen - 1)    return;

    int left = 2 * start + 1;
    int right = 2 * start + 2;

    // This also means left < hLen and
    // arr[left] and arr[right] exist.
    if (right < hLen)
    {
        // This means arr[start] is smaller than one of its child, so we just
        // need to find a larger child to replace it.
        if (arr[start] < arr[left] || arr[start] < arr[right])
        {
            if (arr[left] >= arr[right])
            {
                exchange(start, left);
            }
            else
            {
                exchange(start, right);
            }
        }
    }
    // This means left < hLen <= right and arr[right] does not exist.
    else if (left < hLen)
    {
        if (arr[start] < arr[left])
        {
            exchange(start, left);
        }
    }
    // This means hLen <= left, arr[left] does not exist and arr[start] has no child.
    // Actually, 'else' branch is not necessary as 'if (start >= hLen - 1)    return;'
    // at the beginning has ensured this.
    else
    {
        return;
    }

    adjustHeap(start + 1, hLen);
    adjustHeap(start + 2, hLen);
}

　　完整程序请见Github.