hdu 1452 Happy 2004

因子和:

6的因子是1,2,3,6; 6的因子和是 s(6)=1+2+3+6=12;

20的因子是1,2,4,5,10,20; 20的因子和是 s(20)=1+2+4+5+10+20=42;

2的因子是1,2; 2的因子和是 s(2)=1+2=3;

3的因子是1,3; 3的因子和是 s(3)=1+3=4;

4的因子和是 s(4)=1+2+4=7;

5的因子和是 s(5)=1+5=6;

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

这是巧合吗？

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

例 hdu1452 Happy 2004

计算 因子和 s(2004^X) mod 29 ,

2004=2^2 *3 *167

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X)))

167)=22;

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据 （1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据 （1）

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据 （1）

%运算法则 1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p)

%运算法则 2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p)

b^(-1)是 b的逆元素 （%p）

2的逆元素是15 （)） ，因为2*15=30 % 29=1 % 29

21的逆元素是18 （)） ，因为21*18=378% 29 =1 % 29

因此

a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;

b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;

c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;

ans=（a*b）% 29*c % 29;

/*************************************************************************
    > File Name: xh.cpp
    > Author: XINHUA
    > Mail: 525799145@qq.com 
    > Created Time: 2013/7/22 星期一 19:54:04 新华
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#define ll __int64
using namespace std;
int pows(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%29;
        b>>=1;
        a=a*a%29;
    }
    return ans%29;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n&&n)
    {        
        int a=(pows(2,2*n+1)-1)%29;
        int b=(pows(3,n+1)-1)*15%29;
        int c=(pows(22,n+1)-1)*18%29;
        printf("%d
",(((a*b)%29)*c)%29);
    }
    return 0;
}