hdu 1402 A * B Problem Plus

此处介绍另一种方法来解决这题，也就是FFT(快速傅里叶变换)

如果是乘法，位数为n和位数为m的相乘，需要n*m次的乘法运算。

FFT在数字信号处理学过，但是第一次用来做这类题目，神奇啊。

乘法其实就是做线性卷积。

用DFT得方法可以求循环卷积，但是当循环卷积长度L≥N+M-1，就可以做线性卷积了。

使用FFT将两个数列转换成傅里叶域，在这的乘积就是时域的卷积。

给几个学习的链接吧：

http://wenku.baidu.com/view/8bfb0bd476a20029bd642d85.html  （这主要看那个FFT的流程图）

http://wlsyzx.yzu.edu.cn/kcwz/szxhcl/kechenneirong/jiaoan/jiaoan3.htm   这有DFT的原理。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#define ll __int64
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
const int MAX = 200002;
//复数结构体
struct complex{
    double r,i;
    complex(double R=0,double I=0){
        r=R;i=I;
    }
    complex operator+(const complex &a){
        return complex(r+a.r,i+a.i);
    }
    complex operator-(const complex &a){
        return complex(r-a.r,i-a.i);
    }
    complex operator*(const complex &a){
        return complex(r*a.r-i*a.i,r*a.i+i*a.r);
    }
};
/*
 *进行FFT和IFFT前的反转变换
 *位置i和i的二进制反转后位置互换，(如001反转后就是100)
 *len必须去2的幂
 */
void change(complex x[],int len){
    int i,j,k;
    for(i = 1, j = len/2; i <len-1; i++){
        if (i < j) swap(x[i],x[j]);
        //交换互为小标反转的元素，i<j保证交换一次
        //i做正常的+1,j做反转类型的+1，始终i和j是反转的
        k = len/2;
        while (j >= k){
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if (j < k) j += k;
    }
}
/*
 *做FFT
 *len必须为2^n形式，不足则补0
 *on=1时是DFT，on=-1时是IDFT
 */
void fft (complex x[],int len,int on){
    change(x,len);
    for (int i=2;i<=len;i<<=1){
        complex wn(cos(-on*2*pi/i),sin(-on*2*pi/i));
        for (int j=0;j<len;j+=i){
            complex w(1,0);
            for (int k=j;k<j+i/2;k++){
                complex u = x[k];
                complex t = w*x[k+i/2];
                x[k] = u+t;
                x[k+i/2] = u-t;
                w = w*wn;
            }
        }
    }
    if (on == -1){
        for (int i=0;i<len;i++){
            x[i].r /= len;
        }
    }
}
complex x1[MAX],x2[MAX];
char str1[MAX/2],str2[MAX/2];
ll num[MAX],sum[MAX];
int main()
{
    int i,j,k,len1,len2,len;
    while(scanf("%s%s",&str1,&str2)!=EOF){
        len1 = strlen(str1);
        len2 = strlen(str2);
        len = 1;
        while (len < 2*len1 || len < 2*len2) len<<=1;
        for (i=0;i<len1;i++){
            x1[i] = complex(str1[len1-1-i]-'0',0);
        }
        for (i=len1;i<len;i++){
            x1[i] = complex(0,0);
        }
        for (i=0;i<len2;i++){
            x2[i] = complex(str2[len2-1-i]-'0',0);
        }
        for (i=len2;i<len;i++){
            x2[i] = complex(0,0);
        }
        fft(x1,len,1);
        fft(x2,len,1);
        for (i=0;i<len;i++){
            x1[i] = x1[i]*x2[i];
        }
        fft(x1,len,-1);
        for (i=0;i<len;i++){
            sum[i] = (int)(x1[i].r+0.5);
        }
        for (i=0;i<len;i++){
            sum[i+1]+=sum[i]/10;
            sum[i]%=10;
        }
        len = len1+len2-1;
        while (sum[len]<=0 && len>0) len--;
        for (i=len;i>=0;i--){
            printf("%c",sum[i]+'0');
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}