n后问题回溯法

问题描述：

　　在n*n的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按国际象棋的规则，皇后可以与之处在同一行或者同一列或同一斜线上的棋子。

　　n后问题等价于在n*n格的棋盘上放置n皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列的斜线上。

算法设计：

　　|i-k|=|j-l|成立，就说明2个皇后在同一条斜线上。可以设计一个place函数，测试是否满足这个条件。

　　1 当i>n时，算法搜索至叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放置方案，当前已找到的可行方案sum加1.

　　2 当i<=n时，当前扩展结点Z是解空间中的内部结点。该结点有x[i]=1,2,3....n共n个儿子节点。

　　　　对当前扩展结点Z的每个儿子节点，由place检察其可行性。并以深度优先的方式递归地对可行子树，或剪去不可行子树。

算法描述：　

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
class Queen{
    friend int nQueen(int);
private:
    bool Place(int k);
    void Backtrack(int t);
    int n,
        * x;
    long sum;
};
bool Queen::Place(int k)
{
    for(int j=1;j<k;j++)
        if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))
            return false;
    return true;
}
void Queen::Backtrack(int t)
{
    if(t>n)
        sum++;
    else
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            x[t] = i;
            if(Place(t))
                Backtrack(t+1);
        }
}
int nQueen(int n)
{
    Queen X;
    X.n = n;
    X.sum = 0;
    int *p = new int [n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        p[i] = 0;
    X.x = p;
    X.Backtrack(1);
    delete [] p;
    cout<<X.sum<<endl;
    return X.sum;
}
int main()
{
    nQueen(4);
    nQueen(2);
    nQueen(3);
    return 0;
}

执行结果：

迭代回溯：

数组x记录了解空间树中从根到当前扩展结点的路径，这些信息已包含了回溯法在回溯时所需要的信息。利用数组x所含的信息，可将上述回溯法表示成非递归形式，进一步省去O(n)递归栈空间。

　　n后问题的非递归迭代回溯法Backtrack可描述如下：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
class Queen{
    friend int nQueen(int);
private:
    bool Place(int k);
    void Backtrack(void);//.........
    int n,
        * x;
    long sum;
};
bool Queen::Place(int k)
{
    for(int j=1;j<k;j++)
        if( ( abs(k-j) == abs(x[j]-x[k]) ) ||( x[j] == x[k] ) )
            return false;
    return true;
}
void Queen::Backtrack(void)//......
{
    x[1] = 0;
    int k = 1;
    while(k>0)
    {
        x[k]+=1;
        while( (x[k]<=n) && !(Place(k)) )//k还不是最后的叶子结点，且位置没有冲突
            x[k] += 1;
        if(x[k] <= n)
            if(k == n)//k是叶子结点
                sum++;
            else
            {
                k++;
                x[k] = 0;
            }
        else
            k--;
    }
}
int nQueen(int n)
{
    Queen X;
    X.n = n;
    X.sum = 0;
    int *p = new int [n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        p[i] = 0;
    X.x = p;
    X.Backtrack();//......
    delete [] p;
    cout<<X.sum<<endl;
    return X.sum;
}
int main()
{
    nQueen(4);
    nQueen(2);
    nQueen(3);
    return 0;
}

执行结果：