算法模板-容斥原理

容斥原理：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。------百度百科

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从中可以得出一个简单的规律：“奇加偶减”，即加上所有奇数个集合的交集；减去所有偶数个集合的交集，所得结果为A1到Am的并集。

根据这个规律，利用二进制表示集合的选择，编程即可。

解题思路：枚举每个k，可以知道小于n的k次幂的个数为 n^(1/k);又知道: (a^b)^c = a^(b*c),因为合数可以分解为多个质数的乘积，所以仅枚举质数即可。

但是一个数既可以是a次幂的表示，也可以是b次幂的表示，所以统计会有重复，利用容斥，“奇加偶减”。

10^18<2^60，所以枚举60以内的质数即可。

源码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=60;
const double eps=1e-8;
int prime[maxn+1];           
void getPrime()    　　　　　　　　　　  //计算出60以内的质数　　　　　　　　　　
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(!prime[i])prime[++prime[0]]=i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=maxn;j++){
            prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    getPrime();
    ll n;
    while(cin>>n){
        ll ans=0;
        for(unsigned i=1;i<(1LL<<prime[0]);i++){       //二进制产生集合的选择
            ll num=0,mul=1;
            for(int j=0;j<prime[0];j++){
                if((i>>j)&1)mul*=prime[j+1],num++;
            }
            ll tmp=(ll)(pow((double)n,1.0/mul)+eps)-1;     //计算当k=mul时小于n的个数
            if(num&1)ans+=tmp;
            else ans-=tmp;
        }
        cout<<ans+1<<endl;
    }
    return 0;
}