前面我们得到关于全纯函数导数的估计式
[|f'(z_{0})|leqfrac{1}{r}cdotsuplimits_{zin B(z_{0},r)}|f(z)|]
如果我们设$f(z)$在整个复平面$mathbb C$上有界,在上式中令$r oinfty$即得
[f'(z_{0})=0]
由$z_{0}$的任意性可知$f'(z)=0$在$mathbb C$上恒成立.这就说明$f(z)$常值了.可以简单证明一下,这一点根据Cauchy-Riemann方程是显然的.
以上便是Liouville定理的内容：若全纯函数$f(z)$在$mathbb C$上有界,则必为常数.
当然也可以这样说明，因为$f$全纯,那么在任一闭圆盘$overline{B}(0,R)$上,$f$有Taylor级数
[f(z)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}z^n]
其中
$$|a_{n}|leqfrac{M}{R^n}$$,令$R oinfty$可得$a_{n}=0(n=1,2,cdots)$,从而
$$f(z)=a_{0}$$
如果引入无穷远点$infty$可微性的概念:设$f(z)$在无穷远点全纯,定义为函数$fleft(frac{1}{z} ight)$在$z=0$处全纯.
我们便可将Liouville定理叙述为:在扩充复平面$mathbb C^*$上的全纯函数必为常数.
Liouville定理可以用来证明代数学基本定理：设$f(z)inmathbb C_{n}[x]$,若$f(z)$没有零点,那么$frac{1}{f(z)}$在$mathbb C$上全纯,且由于$limlimits_{z oinfty}f(z)=infty$,则$frac{1}{f(z)}$有界,根据Liouville定理可知$f(z)$为常数,矛盾!