约瑟夫问题

问题描述

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，(39) 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，(39)个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，(41)个人排成一个圆圈，由第(1)个人开始报数，每报数到第(3)人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过(k-2)个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第(k)个人。接着，再越过(k-1)个人，并杀掉第(k)个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第(16)个与第(31)个位置，于是逃过了这场死亡游戏。^[1]

简单描述：(0,1,cdots,n-1) 这(n)个数字排成一个圆圈，从数字(0)开始，每次从这个圆圈里删除第(m)个数字，并将起点标记为第(m+1)个数字，求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如：

输入：n = 5, m = 3

对应数字为：0 1 2 3 4，删除的前4个数字依次为：2 0 4 1，最终剩下的数字为3。

解决方法

问题1：(0,1,cdots,n-1)，删除第(m)个数字（第(m)个数字的序号为((m-1))）后，其余数字的序号是如何改变的？

若原序列某一位的序号为(k)，删除第(m)个数字后，该数字的序号变为(k')。

若(k>m-1)（该数字在被删除数字之后），则(k'=k-m)

若(k<m-1)（该数字在被删除数字之前），则(k'=n-m+k)

综合考虑，有：(k'=(k-m)\%n)，(\%)表示求余。

问题2：已知删除第(m)个数字后，某数字的序号为(k')，此序列中剩余数字的个数为(n-1)，则删除第(m)个数字前，该数字的序号是？

根据问题1，我们已经得到了由(k)求(k')的关系式，那么由(k')求(k)的关系式可如下计算：

因为：

[k'=(k-m)\%n ]

则：

[k-m= au cdot n + k' ( au in Z) ]

有：

[k= au cdot n + k + m ]

又已知：(k in [0, n-1])
则：

[k=( au cdot n + k + m)\%n=(k + m)\%n ]

从而我们推出了由(k')求(k)的关系式：

[k=(k + m)\%n ]

问题3：说这么多废话，约瑟夫问题到底怎么解决？

对于最后的胜利者，也就是最终剩下的那个数字，他在这一轮的序号一定是(0)。

根据问题2中的阐述，我们可以推导出：这个胜利数字，在倒数第二轮中，他的序号是多少。（((0+m)\% 2)）

依次类推，得到如下递关系式：

[left{ egin{array}{**lr**} F(n) = (F(n-1) + m) \% n \ F(1) = 0 end{array} ight. ]

代码实现

具体题目描述见 LeetCode 剑指 Offer 62

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int count = 1;
        int prev = 0;
        int curr;
        while(count <= n) {
            curr = (prev + m) % count;
            prev = curr;
            count++;
        }
        return curr;
    }
};

---

1. Ronald L.Graham,Donald E.Knuth,Oren Patashnik ．具体数学计算机基础（第2版） ：人民邮电出版社，2013：7 ↩︎