[2019.9.26]AT5200 LCMs

第一次不看题解做出莫反题?

首先,(LCM(i,j)=frac{ij}{gcd(i,j)})。考虑枚举(i),求所有最大公约数为(i)的数对的乘积和。

首先,我们令(F(i))为(gcd)为(i)的倍数的数对的乘积和,(f(x))为(gcd)为(i)的数对的乘积和。

于是(F(x)=sum_{d|x}f(d))

由莫比乌斯反演得(f(x)=sum_{d|x}mu(frac{d}{x})F(x))

于是如果我们可以枚举(i),枚举(i)得倍数,计算(f(i))后除以(i),累加得到答案。

那么怎么求(F(x))?

我们枚举(i),计数列中(x)的数量为(cnt_x),那么(F(i)=sum_{d=1}^{frac{n}{i}}sum_{d-1} imes cnt_i imes i+frac{cnt(cnt-1)}{2} imes i^2)

其中(sum_{x})为所有小于等于(i imes x)的(i)的倍数的数量,直接递推即可。

时间复杂度(O(nlog n))。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,a[1000010],t,m,p[1000010],sz,mu[1000010];
long long sum,F[1000010],f,ans;
int POW(int x,int y){
	int tot=1;
	while(y)y&1?tot=1ll*tot*x%mod:0,x=1ll*x*x%mod,y>>=1;
	return tot;
}
int main(){
	scanf("%d",&n),mu[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&t),++a[t],m=max(m,t);
	for(int i=2;i<=m;++i){
		if(!p[i])p[++sz]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=sz&&i*p[j]<=m;++j){
			p[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;++i,sum=0)for(int j=i;j<=m;j+=i)F[i]=(F[i]+sum*j*a[j]+(1ll*a[j]*(a[j]-1)/2)*j%mod*j)%mod,sum=(sum+1ll*j*a[j])%mod;
	for(int i=1;i<=m;ans=(ans+f*POW(i,mod-2))%mod,++i,f=0)for(int j=i;j<=m;j+=i)f=(f+mu[j/i]*F[j])%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}