已知直线(y=kx)与双曲线(C:; frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))相交于不同的两点(A,B,;;F)为双曲线(C)的左焦点(,;)且满足(|AF|=3|BF|,|OA|=b(O)为坐标原点(),;)则双曲线(C)的离心率为(underline{qquadqquad}.)
法一(:;)在(Rt riangle ABF_2)中，$ Rightarrow (2b)2+a2=(3a)^2Rightarrow cdots Rightarrow e=sqrt{3}$
法二(:;)
(AF_2=ex_A-a=aRightarrow x_A=frac{2a^2}{c})
由(Rt riangle OF_2ARightarrow y_A=frac{ab}{c})
由点(A)在双曲线(C)上(Rightarrowcdots Rightarrow e=sqrt{3})
法三(:;)
记(angle AF_2 x= heta)，则(|AF_2|=a=frac{ecdot frac{b^2}{c}}{1-ecos heta}Rightarrow cos heta=frac{a^2-b^2}{ac})
在(Rt riangle OF_2A)中，(sin(pi- heta)=frac{b}{c}Rightarrowcdots Rightarrow c^2=3a^2 ; or; c^2=a^2Rightarrow e=sqrt{3})
法四(:;)中线定理
在( riangle AFF_2)中，(|AF|^2+|AF_2|^2=frac{1}{2}|FF_2|^2+2|AO|^2Rightarrowcdots Rightarrow e=sqrt{3})
其中方法二和方法三使用的二手结论均来自
圆锥曲线的第二定义。
若将$|AO|=b;$改为$|AO|=a;; or;c; or ;2a;or; frac{c}{2}cdots$，显然方法一就不再那么简洁了， 法二和法三的计算量又会增加， 只有法四“岿然不动”！
法四中的中线定理是更一般形式的特殊情况，感兴趣的同学可以下来推推这个结论