参考答案采用半分离(曲变直)，大多数同学采用全分离(一直对高中数学使用洛必达法则持保留意见)，将问题化归为：\(\forall x\in(0,+\infty),a\geqslant \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}\) 恒成立，求实数\(a\) 的取值范围。
分析：令\(f(x)=\frac{\sin x}{x(2+\cos x)}\)，多数同学利用洛必达法则得到\(x\rightarrow 0,f(x)\rightarrow \frac{1}{3}\)，只需要证明\(f(x)\leqslant \frac{1}{3}\).
化归为证明：对任意的极值点\(x=x_{_0}\)，都有\(f(x_{_0})\leqslant\frac{1}{3}\)(因为这里有\(x\rightarrow +\infty,f(x)\rightarrow 0\).)
\(\Leftarrow \left\{ \begin{array}{ll} x_{_0}>0 \\ f'(x_{_0})=0 \\ f(x_{_0})\leqslant\frac{1}{3} \end{array} \right. \)
\(\Leftarrow \left\{ \begin{array}{ll} x_{_0}>0 \\ x_{_0}(1+2\cos x_{_0})=\sin x_{_0}(2+\cos x_{_0}) \\ \frac{\sin x_{_0}}{x_{_0}(2+\cos x_{_0})}\leqslant\frac{1}{3} \end{array} \right. \)
\(\Leftarrow x_{_0}>0,\frac{\sin x_{_0}(1+2\cos x_{_0})}{\sin x_{_0}(2+\cos x_{_0})^2}\leqslant\frac{1}{3}\)
\(\Leftarrow x_{_0}>0,\frac{1+2\cos x_{_0}}{(2+\cos x_{_0})^2}\leqslant\frac{1}{3}\)
\(\Leftarrow x_{_0}>0,\cos^2x_{_0}-2\cos x_{_0}+1\geqslant 0\)
或\(x_{_0}\geqslant 0,(\frac{1+2\cos x_{_0}}{(2+\cos x_{_0})^2})_{max}=\frac{1+2}{(2+1)^2}=\frac{1}{3}\)(因为函数\(h(x)=\frac{1+2x}{(2+x)^2}\)在区间\([-1,1]\)上单调递增)