题160905（15分）是否存在单位圆内接$Delta ABC$，其三边长$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，且存在实数$p$，使得关于$x$的方程
${{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+bcx=p$
以$sin A$、$sin B$、$sin C$为根．
提示：一元三次方程韦达定理+正弦定理
解：假定存在这样的三角形，由韦达定理有
$left{ egin{array}{*{35}{l}} 2a=sin A+sin B+sin C, \ bc=sin Acdot sin B+sin Bcdot sin C+sin Ccdot sin A. \end{array} ight.$
由正弦定理有$dfrac{sin A}{a}=dfrac{sin B}{b}=dfrac{sin C}{c}=dfrac{1}{2R}=dfrac{1}{2}$，
由上面两式可得$left{ egin{array}{*{35}{l}} 2a=dfrac{1}{2}left( a+b+c ight), \ bc=dfrac{1}{4}left( ab+bc+ca ight) \end{array} ight.$，
整理得$left{ egin{array}{*{35}{l}} 3a=b+c, \ 3bc=ab+ac \end{array} ight.$，
代入得$3bc=aleft( b+c ight)=3{{a}^{2}}$$Rightarrow $$bc={{a}^{2}}$，
在$Delta ABC$中，有$b<a+c$，$c<a+b$，
于是$3a=b+c<a+2c$$Rightarrow $$a<c$，同理可得$a<b$，
于是$bc={{a}^{2}}<bc$，矛盾．
故不存在满足条件的三角形．