线性代数期末大总结I

行列式

n阶行列式的计算：

[left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \vdots & vdots & ddots & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{matrix} ight|=sum(-1)^{t}a_{1p_1}a_{2p_3}cdots a_{np_n} ]

其中t为排列(p_1p_2p_3 cdots p_n)的逆序数，由于这样的排列共有(n!)个，所以n阶行列式共有(n!)项。
行列式的性质：

• 行列式与他的转置行列式相等

• 对换行列式的两行/列，行列式变号

  可推出：如果行列式有两行/列完全相等，则行列式等于0

• 行列式的某一行/列中多有元素乘以k，等于k乘以此行列式

• 行列式中如果有两行/列元素成比例，则此行列式等于0

• 把行列式的某一行/列元素同乘以某数k，再加到另一行/列对应元素上，行列式不变

• 如下：

  [若D=left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \vdots & vdots & & vdots \a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & cdots & a_{in}+a_{in}^, \vdots & vdots & & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{matrix} ight| ]

[则D=left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \vdots & vdots & & vdots \a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \vdots & vdots & & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{matrix} ight|+left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \vdots & vdots & & vdots \a_{i1}^, & a_{i2}^, & cdots & a_{in}^, \vdots & vdots & & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{matrix} ight| ]

行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。

矩阵的运算

矩阵的一般运算

• 矩阵加法：两同型矩阵对应元素相加。

• 数与矩阵相乘：等于该矩阵所有元素同乘该数。

• 矩阵与矩阵相乘：如(AB)结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。

• 矩阵的转置：

  [(A^T)^T=A\ (A+B)^T=A^T+B^T\ (lambda A)^T=lambda A^T\ (AB)^T=B^TA^T ]

• 方阵的行列式：

[|A^T|=|A|\ |lambda A|=lambda^n|A|\ |AB|=|A||B| ]

伴随矩阵：

其中(A_{ij})为(|A|)的代数余子式

[矩阵A的伴随矩阵A^*= left[ egin{matrix} A_{11} & A_{21} & cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & cdots & A_{n2} \ vdots & vdots & & vdots \ A_{1n} & A_{2n} & cdots & A_{nn} \ end{matrix} ight] \ 可得：AA^*=A^*A=|A|E ]

逆矩阵

定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得(AB=BA=E)，那么称A可逆，B为A的逆矩阵。

• 若A可逆，则(|A| eq 0)

• 若(|A| eq 0)，则:

  [A^{-1}=frac{A^*}{|A|} ]

当(|A|=0)时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知：

A是可逆矩阵的充分必要条件是(|A| eq 0)，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

逆矩阵满足下述运算规律：

[(A^{-1})^{-1}=A \ (lambda A)^{-1}=frac{A^{-1}}{lambda} \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ]

逆矩阵的初步运用

设(varphi (A)=a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m)为矩阵A的m次多项式。

• 如果(A=PLambda P^{-1})，则(A^k = PLambda^kP^{-1})，从而：

  [egin{align} varphi(A) & = a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m \ & = Pa_0EP^{-1} + Pa_1Lambda P^{-1} + cdots + Pa_mLambda^m P^{-1} \ & = P(a_0E + a_1Lambda + cdots + a_mLambda^m)P^{-1} \ & = P varphi(Lambda)P^{-1} end{align} ]

• 如果(Lambda = diag(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n))为对角矩阵，则(Lambda^k = diag(lambda_1^k,lambda_2^k,cdots,lambda_n^k))，从而：

  [egin{align}varphi(Lambda)& = a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m\& = left[egin{matrix} varphi(lambda_1) \ &varphi(lambda_2)\ &&ddots\ &&&varphi(lambda_n)end{matrix} ight]end{align} ]

克拉默法则

• 如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零，则方程组有唯一解：
  [x_n = frac{|A_n|}{|A|} ]

分块矩阵

• 转置：

[A=left[egin{matrix}A_{11} & cdots & A_{1r}\vdots & & vdots\A_{s1} & cdots & A_{sr}\end{matrix} ight]\A^T=left[egin{matrix}A_{11}^T & cdots & A_{s1}^T\vdots & & vdots\A_{1r}^T & cdots & A_{sr}^T\end{matrix} ight] ]

• 分块对角矩阵：(A_i)是方阵，则如下A分块矩阵为分块对角矩阵

[A=left[egin{matrix}A_{1} \& A_2\& & ddots\& & & A_send{matrix} ight] ]

分块对角矩阵有如下性质：

[|A|=|A_1||A_2|cdots|A_s|\A^{-1}=left[egin{matrix}A_{1}^{-1} \& A_2^{-1}\& & ddots\& & & A_s^{-1}end{matrix} ight] ]

矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

• 如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与B行等价。

• 如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，则称矩阵A与B列等价。

• 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价。

• 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。

行阶梯形矩阵：非零行在零行上面，非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最简形矩阵：非零行的首非零元为1，首非零元所在的列的其余元均为0。

方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵(P_1P_2cdots P_l)使得(A=P_1P_2cdots P_l)。

可推出：方阵A可逆的充要条件是A与E行等价。

矩阵的秩

K阶子式与秩：在m行n列的矩阵A中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变相对位置而得到的K阶行列式，称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式，那么r就为A的秩 ，记作R(A)=r 。

• 如果A行等价B，则A与B中非零子式的最高阶数相等。

• (R(A)=R(A^T))。

• 可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵。

• 初等变换作为一种运算，其深刻意义在于不改变矩阵的秩。

性质（不完全）：

• (R(A+B) leq R(A)+R(B))
• (R(AB) leq min{R(A), R(B)})
• 若(A_{m,n}B_{n,l}=O)，则(R(A) + R(B) leq n)
• 若(AB=O)且A为满秩矩阵，则(B=O)。

线性方程组的解

n元线性方程组(Ax=b) 。

• 无解充要条件是(R(A)<R(A,b))。
• 唯一解充要条件(R(A)=R(A,b)=n)。
• 无穷解充要条件(R(A)=R(A,b)<n)

1. (Ax=0)有非零解的充要条件是(R(A)<n)。
2. 矩阵方程(AX=B)有解的充要条件是(R(A)=R(A,B))。
3. 设(AB=C)，则(R(C)leq min{R(A), R(B)})

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