线性代数期末大总结II

向量组的线性相关性

向量组及其线性组合：

• n个有次序的数(a_1,a_2,cdots,a_n)所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数(a_i)称为第i个分量。

  若干行同维数的列向量（或者行向量）所组成的集合叫做向量组。

• 向量(b)能由向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性表示的充要条件是矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))的秩等于矩阵(B=(a_1,a_2,cdots,a_m,b))的秩。

• 设有两个向量组A和B，若B中的每一个元素都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A和B能够相互线性表示，则称这两个向量等价。

• 向量组(B:b_1,b_2,cdots,b_l)能由向量组(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))线性表示（即(AX=B)有解）的充要条件是(R(A)=R(A,B))。

  推论：A与B等价的充要条件是(R(A)=R(B)=R(A,B))

• 设向量组B能由向量组A线性表示，则(R(B)leq R(A))。

向量组的线性相关性：

• 给定向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)，如果存在不全为零的数(k_1,k_2,cdots,k_m)使

  [k_1a_1+k_2a_2+cdots+k_ma_m=0 ]

  则称A是线性相关的，否则称为线性无关。

• 向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性相关的充要条件是(R(A)<m)。线性无关充要条件是(R(A)=m)。

• 若向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性相关，则向量组(B：a_1, a_2,cdots,a_m,a_{m+1})也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则A也线性无关。

• m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。

• 设向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性无关，而向量组(B：a_1, a_2,cdots,a_m,b)线性相关，则向量b必能由A线性表示，且表示式唯一。

向量组的秩：

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量(a_1,a_2,cdots,a_r)，满足：

1. 向量组(A_0：a_1,a_2,cdots,a_r)线性无关；
2. 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，

那么称(A_0)是向量组A中的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为(R_A)。

推论：设向量组(A_0：a_1,a_2,cdots,a_r)是向量组A的一个部分组，且满足：

1. (A_0)线性无关；
2. A的任一向量都能由向量组(A_0)表示，

那么，(A_0)便是A的一个最大无关组。

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• 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

线性方程组的解的结构：

• 设(m imes n)矩阵(A)的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组(Ax=0)的解集(S)的秩(R_s=n-r)。
• 非齐次线性方程组的通解=该方程组的一个特解+对应齐次方程组的通解。

向量空间：

定义1：设V是n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么称集合V为向量空间。

一般地，由向量组(a_1,a_2,cdots,a_m)所生成的向量空间为：

[L={ x=lambda_1a_1+lambda_2a_2+cdots +lambda_ma_m | lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m in R } ]

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定义2：设V是一个向量空间，如果有(a_1,a_2,cdots,a_r)线性相关且V中任一向量都可以由(a_1,a_2,cdots,a_r)线性表示，那么(a_1,a_2,cdots,a_r)就称为向量空间V的一个基，r称为V的维数，并称V为r维向量空间。

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定义3：如果向量空间V取定一个基(a_1,a_2,cdots,a_r)，那么V中任意一个向量(x)可唯一地表示为

[x=lambda_1a_1+lambda_2a_2+cdots +lambda_ra_r ]

数组(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r)称为向量(x)在基(a_1,a_2,cdots,a_r)中的坐标。

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在(R^3)中取定一个基(a_1,a_2,a_3)，再取一个新基(b_1,b_2,b_3)，设(A=(a_1,a_2,a_3))，(B=(b_1,b_2,b_3))。有：

[(b_1,b_2,b_3)=(a_1,a_2,a_3)P ]

其中系数矩阵(P=A^{-1}B)称为旧基到新基的过渡矩阵。

设向量(x)在旧基和新基中的坐标分别为(y_1,y_2,y_3)和(z_1,z_2,z_3)，则有：

[left[egin{matrix}z_1\z_2\z_3end{matrix} ight]=P^{-1}left[egin{matrix}y_1\y_2\y_3end{matrix} ight] ]

相似矩阵及二次型

正交向量组：

下面讨论正交向量组的性质，所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。

• 若n维向量构成的向量组中的向量两两正交且为非零向量，则该向量组线性无关。

• 如果n维向量(e_1,e_2,cdots,e_r)是向量空间V的一个基，如果(e_1,e_2,cdots,e_r)两两正交且都是单位下向量，则称其为V的一个标准正交基。

• 设(a_1,cdots,a_r)是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基。也就是要找到一组两两相交的单位向量(e_1,cdots,e_r)，使得(e_1,cdots,e_r)与(a_1,cdots,a_r)等价。这个问题称为把基(a_1,cdots,a_r)标准正交化。常用方法为施密特正交化，公式如下：

  [egin{align}b_1 & = a_1\b_2 & = a_2-frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\& cdots cdots cdots cdots \b_r & = a_r-frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-frac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-cdots-frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}end{align} ]

正交矩阵：

• 如果n阶矩阵(A)满足(A^TA=E)（即(A^{-1}=A^T)），那么称A为正交矩阵(正交阵)。

正交阵具有以下性质：

1. (A^{-1}=A^T)，(|A|=1或-1)。
2. 若A、B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。

• 若(P)是正交矩阵，则线性变换(y=Px)称为正交变换。
  [||y||=sqrt{y^Ty}=sqrt{x^TP^TPx}=sqrt{x^Tx}=||x|| ]
  可以看出：经过正交变换后线段长度不变。

方阵的特征值与特征向量：

定义：设A是n阶矩阵，如果数(lambda)和(n)维非零列向量(x)使关系式(Ax=lambda x)成立，那么(lambda)称为A的特征值，(x)称为A的特征向量。

• (lambda_1+lambda_2+cdots+lambda_n=a_{11},a_{22},cdots,a_{nn})

• (lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n=|A|)，由此可知：A可逆的充要条件是它的n个特征值全不为零

• 如果(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m)是方阵A的m个特征值，如果他们各不相等，则他们对应的特征向量构成的向量组线性无关。

• 方阵的两个不相等的特征值对应的特征向量(a_1,cdots,a_s)和(b_1,cdots,b_t)，则(a_1,cdots,a_s,b_1,cdots,b_t)线性无关。

相似矩阵：

定义：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得(P^{-1}AP=B)，则称B是A的相似矩阵。

• 若A与B相似，那么A与B特征多项式相同，从而A与B的特征识亦相同。

  推论：若n阶矩阵A与对角矩阵(diag(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n))相似，则(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)即是A的特征值。

• n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

  推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A可对角化。但是可对角化不一定就有n个互不相等特征值。

对称矩阵的对角化：

• 设(lambda_1,lambda_2)是对称矩阵A的两个特征值，(p_1,p_2)是对应的特征向量，如果(lambda_1 eq lambda_2)，则(p_1,p_2)正交。

• 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵(P)，使得(P^{-1}AP=P^TAP=Lambda)，其中(Lambda)是以A的特征值为对角元素的对角矩阵。

  推论：设A为n阶对称矩阵，(lambda)是A的特征方程的k重根，则矩阵(A-lambda E)的秩(R(A-lambda E)=n-k)，从而对应特征值(lambda)恰有k个线性无关的特征向量。

二次型及其标准形：

二次型可用矩阵记作：

[f=x^TAx ]

对于二次型我们主要讨论的问题是：寻求可逆线性变换使二次型只含有平方项。

合同：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使得(B=C^TAC)，则矩阵A与B合同。显然，如果A为对称矩阵，则B也是对称矩阵。又因为C可逆，所以R(A)=R(B)。

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经过可逆变换(x=Cy)后，

[egin{align}f& = y^TC^TACy\& = [y_1,y_2,cdots,y_n]left[egin{matrix}k_1\&k_2\&& ddots\&&& k_nend{matrix} ight]left[egin{matrix}y_1\y_2\ vdots \ y_nend{matrix} ight]end{align} ]

也就是使(C^TAC)称为对角矩阵。那么我们的问题就转化成了：对于对称矩阵A，寻求一个可逆矩阵C，使得(C^TAC)为对角矩阵。这个问题称为对称矩阵A的合同对角化。

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• 任给二次型，总有正交变换(x=Py)，使(f)化为标准型(f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+cdots+lambda_ny_n^2)，其中平方项系数是(f)的矩阵(A=(a_{ij}))的特征值。

正定二次型：

• 设二次型(f=x^TAx)的秩为r，且有两个可逆变换(x=Cy)，(x=Py)使
  [f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+cdots+k_ry_r^2\f=lambda_1z_1^2+lambda_2z_2^2+cdots+lambda_rz_r^2 ]
  则(k_1,k_2,cdots,k_r)中正数的个数与(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r)中的正数的个数相等。这个定理称为惯性定理。二次型标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数个数称为负惯性指数。

正定二次型：设二次型f对于任何不为零的x都有(f(x)>0)，则称f为正定二次型，称对称矩阵A是正定的。反之为负。

• n元二次型f为正定的充要条件是：标准型n个系数全为正，规范型n个系数全为1，正惯性指数为n。

  推论：对称矩阵A为正定的充要条件：A的特征值全为正。

• 对称矩阵A为正定的充要条件：A的各阶主子式都为正。

• 对称矩阵A为负定的充要条件：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。