正睿NOIP赠送附加赛1

T1：math

题目链接：

http://zhengruioi.com/contest/156/problem/471

题解：

先讲讲我的乱搞做法。对于前面70%，我跑了背包。因为背包有后效性...我做了两次，也就是迭代了一下

剩下的30%随机化了一波。就是先把每个数的20以内的倍数暴力的算出来对k取模然后丢到一个大小为k的桶里面去。因为题目就是让你给每个数一个系数，于是我就每次随机两个位置相加判断在模k的意义下是否出现过，如果没有出现过就加入答案中，咳咳重复1e7次即可A掉本题

下面说说题解做法：

$ax+by=z$存在整数解，当且仅当$gcd(a, b)∣z$。

那么，若z可以被凑出，即 $sum_{i=1}^{n} x_ia_i = z$，当且仅当 $gcd(a_1, a_2,⋯, a_n)∣z$。

因此，答案只能是gcd的整数倍。

但是，这样考虑x有可能是负数，但是在mod k的条件下，我们可以把x调为非负整数。

时间复杂度$O((n + k)logv)$。

乱搞代码

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<time.h>
using namespace std;

const int N=1e6+15;
int n,k;
int a[N],f[N];
inline int read(){
    char ch=getchar();int s=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*f;
}
namespace task1
{
    void main()
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;!f[1ll*j*a[i]%k];j++) f[1ll*j*a[i]%k]=1; 
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            for (int j=0;j<=k;j++) f[j]|=f[((j-a[i])%k+k)%k];
            for (int j=0;j<=k;j++) f[j]|=f[((j-a[i])%k+k)%k];
        }
        int s=0;
        for (int j=0;j<k;j++) s+=f[j];
        printf("%d
",s);
        for (int j=0;j<k;j++) if (f[j]) printf("%d ",j);
    }
}
int gcd(int a,int b) {if (!b) return a;else return gcd(b,a%b);}
namespace task2
{
    void main()
    {
        printf("%d
",k);
        for (int i=0;i<k;i++) printf("%d ",i);
    }
}
int main()
{
    n=read();k=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read()%k;
    for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i]==1||gcd(a[i],k)==1) {task2::main();return 0;}
    if (n<=1000) {task1::main();return 0;}
    srand(time(0));
    vector <int> p;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=0;j<=20;j++) 
        {
            int q=1ll*j*a[i]%k;
            if (!f[q]) 
            {
                p.push_back(q);
                f[q]=1;
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=1e7;i++)
    {
        int si=p.size();
        int l=rand()%si,r=rand()%si;
        if (!f[(p[l]+p[r])%k]) 
        {
            p.push_back((p[l]+p[r])%k);
            f[(p[l]+p[r])%k]=1;
        }
    }
    int s=0;
    for (int j=0;j<k;j++) s+=f[j];
    printf("%d
",s);
    for (int j=0;j<k;j++) if (f[j]) printf("%d ",j);
    return 0;
}

---

T2:biology

题目链接：

http://zhengruioi.com/contest/156/problem/472

题解：

我们显然可以把元素按$a$排序，然后宽搜转移。

$f_{x,y}$ 表示当前路径的结尾在$(x,y)$位置的最大吸引度之和。 $f_{x,y} = b_{x,y}+max (f_{z,k} + ∣x −z ∣ + ∣y −k∣, a_{x,y} >a_{z,k} )$

暴力转移时间复杂度最差为$O(n ^2 m^2)$，考虑优化。

坐标转化$(x,y)->(x+y,x-y)$

这样原来的曼哈顿距离$|x-z|+|y-k|$就变成了切比雪夫距离$max(|x-z|,|y-k|)=max(x-z,z-x,y-k,k-y)$

这样坐标是最大值，转移也是最大值，因此可以用4个变量分别记录最大的$f_{z,k}-z,f_{z,k}+z,f_{z,k}-k,f_{z,k}+k$

时间复杂度为排序复杂度$O(nmlognm)$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=2e3+15;
const ll inf=1e9;
int n,m,tot;
ll A,B,C,D;
ll b[N][N],dp[N][N];
inline ll read(){
    char ch=getchar();ll s=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*f;
}
struct node{
    int x,y;
    int d;
}s[N*N];
bool operator < (node x,node y) {return x.d<y.d;}
void chkmx(ll &a,ll b) {if (b>a) a=b;}
void calc()
{
    int l=1;ll mx=0;
    A=-inf;B=-inf;C=-inf;D=-inf;
    while (l<=tot)
    {
        int r=l;
        while (r<tot&&s[r].d==s[r+1].d) ++r;
        for (int k=l;k<=r;k++)
        {
            int x=s[k].x,y=s[k].y;
            int i=x+y,j=x-y;
            dp[x][y]=b[x][y];
            chkmx(dp[x][y],b[x][y]+A+i);
            chkmx(dp[x][y],b[x][y]+B-i);
            chkmx(dp[x][y],b[x][y]+C+j);
            chkmx(dp[x][y],b[x][y]+D-j);
            chkmx(mx,dp[x][y]);
        }
        for (int k=l;k<=r;k++)
        {
            int x=s[k].x,y=s[k].y;
            int i=x+y,j=x-y;
            chkmx(A,dp[x][y]-i);
            chkmx(B,dp[x][y]+i);
            chkmx(C,dp[x][y]-j);
            chkmx(D,dp[x][y]+j);
        }
        l=r+1;
    }
    printf("%lld
",mx);
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        for (int j=1,x;j<=m;j++)
        {
            x=read();
            if (x) s[++tot]=(node){i,j,x};
        } 
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++) b[i][j]=read();
    sort(s+1,s+1+tot);
    calc();
    return 0;
}