数论15——抽屉原理

有366人，那么至少有两人同一天出生（好孩子就不要在意闰年啦(￣▽￣")）

有13人，那么至少有两人同一月出生

这就是抽屉原理

抽屉原理：把n+1个物品放到n个抽屉里，那么至少有两个物品在同一个抽屉里

鸽巢原理：把n+1个鸽子放到n个鸽巢里，那么至少有两个鸽子在同一个鸽巢里

球盒原理：把n+1个小球放到n个球盒里，那么至少有两个小球在同一个球盒里

（你看，我都帮你们解释里一遍(≧︶≦*)）

其实抽屉原理有两个

第一抽屉原理

原理1： 把多于n+k个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2 ：把多于mn(m乘以n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

 

原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

第二抽屉原理

把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

原理懂了，但是你会运用吗？

 来看这一题

cf 577B

http://codeforces.com/problemset/problem/577/B

 Modulo Sum

给你一个序列a1,a2...an，再给你一个数字m

问你能不能从中选出几个数，把他们相加，令这个和能够整除m

能就是输出YES，不能就输出NO

不知道你有木有思路(O ° ω ° O )

正常讲肯定是dp咯，加一点剪枝，勉强卡过了（因为CF上面都是单组数据，多组可能就超时了）

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring> 
const int N = (int)1e6 + 5;
int n, m;
int a[N];
bool dp[2][1000];//滚动数组 
bool work(){
    dp[0][a[0]] = true;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
        dp[i & 1][a[i]] = true;
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(dp[(i-1) & 1][j]){
                dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
                dp[i & 1][j] = true;
            }
        }
        if(dp[i & 1][0]) return true;
    }
    return dp[(n-1) & 1][0];
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        scanf("%d", &a[i]);
        a[i] %= m;
    }
    puts(work() ? "YES" : "NO");
}

其实这题的n虽然范围大，但是我们可以加一个判断，n>m的话，必然输出YES

为什么？根据抽屉原理呗

先求前缀和求余m，

如果有m+1个数，那么就会产生m+1个前缀和，求余完m，就会有m+1个余数

我们知道求余完m会产生0~m-1总共m个余数

那么根据抽屉原理，至少有两个相同的余数

那么他们之间的数的和求余m就肯定是0，所以n>m的话，必然输出YES

比如

取两个下标i和j（i < j）

(a1+a2+...+ai) % m = k

(a1+a2+...+aj) % m = k

那么(ai+...+aj) %m = 0

所以问题解决啦

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring> 
const int N = (int)1e6 + 5;
int n, m;
int a[N];
bool dp[2][1000];//滚动数组 
bool work(){
    if(n > m) return true;//多加这一句，TLE的代码说不定就能AC 
    dp[0][a[0]] = true;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
        dp[i & 1][a[i]] = true;
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(dp[(i-1) & 1][j]){
                dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
                dp[i & 1][j] = true;
            }
        }
        if(dp[i & 1][0]) return true;
    }
    return dp[(n-1) & 1][0];
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        scanf("%d", &a[i]);
        a[i] %= m;
    }
    puts(work() ? "YES" : "NO");
}

这个原理懂了，一定要学会用，要不然碰上别的题目一样不会（又在黑自己。。。(￣▽￣")）