扩展gcd算法

扩展gcd算法

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神tm ×度搜索exgcd 打到exg的时候出来ex咖喱棒。。。

球方程(ax+by=gcd(a,b))的一个解

如果(b=0)，那么(gcd(a,b)=a)，取(x=1,y=0)即可

否则：显然(gcd(a,b)=gcd(b,amod b))

那么可以递归球解(bx+(amod b)y=gcd(a,b))的解。

然后还是要推当前(x,y)的。

设(bx+(amod b)y=gcd(a,b))的解为(x_0,y_0)，
(ax+by=gcd(a,b)=bx_0+(amod b)y_0)
(=bx_0+ay_0-blfloorfrac{a}{b} floor y_0)
(=ay_0+b(x_0-lfloorfrac{a}{b} floor y_0))

那么(x=y_0,y=x_0-lfloorfrac{a}{b} floor y_0)

核心代码：exgcd(a,b,&x,&y)返回(gcd(a,b))

il ll exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
	ll ret;
	if(b==0)x=1,y=0,ret=a;
	else{
		ret=exgcd(b,a%b,x,y);
		ll x0=x,y0=y;
		x=y0,y=x0-a/b*y0;
	}
	return ret;
}

一点点扩展：球(ax+by=c)的整数解。

首先求解(ax+by=gcd(a,b))，然后如果(c)是(gcd(a,b))的倍数就有解（等式两边同时乘即可）否则无解（显然）

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例题：poj1061 蛤蛤青蛙的约会

设这两只蛤蛤跳(t)单位时间后跳到一起，相差(p)圈。列方程：

[(X+tN)-(Y+tM)=Lp ]

化简：

[(N-M)t+Lp=X-Y ]

然后就转化成了球解(ax+by=c)。