BZOJ1024 [SCOI2009]生日快乐

Description

　　windy的生日到了，为了庆祝生日，他的朋友们帮他买了一个边长分别为 X 和 Y 的矩形蛋糕。现在包括windy
，一共有 N 个人来分这块大蛋糕，要求每个人必须获得相同面积的蛋糕。windy主刀，每一切只能平行于一块蛋糕
的一边（任意一边），并且必须把这块蛋糕切成两块。这样，要切成 N 块蛋糕，windy必须切 N-1 次。为了使得
每块蛋糕看起来漂亮，我们要求 N块蛋糕的长边与短边的比值的最大值最小。你能帮助windy求出这个比值么？

Input

　　包含三个整数，X Y N。1 <= X,Y <= 10000 ； 1 <= N <= 10

Output

　　包含一个浮点数，保留6位小数。

Sample Input

5 5 5

Sample Output

1.800000

题解

我们可以发现，$n$非常小。虽然“最大值最小”看上去像是二分，但是$n$那么小可以搜索。

那么，我们令$dfs(x,y,n)$表示答案，那么第一步切法有：

$$dfs(x,y,n)=minleft{maxleft(dfs(x*i/n,y,i),dfs(x*(n-i)/n,y,n-i) ight)mid 0 < i < n ight}$$

$$dfs(x,y,n)=minleft{maxleft(dfs(x,y*i/n,i),dfs(x,y*(n-i)/n,n-i) ight)mid 0 < i < n ight}$$

即横切和竖切。

我们发现，答案与$x,y$具体值无关，而只与它们的比值有关。那么，令$t=frac{x}{y}$，就有

$$dfs(t,n)=minleft{maxleft(dfs(t*i/n,i),dfs(t*(n-i)/{n},n-i) ight)mid 0 < i < n ight}$$

$$dfs(t,n)=minleft{maxleft(dfs(t/i*n,i),dfs(t/(n-i)*n,n-i) ight)mid 0 < i < n ight}$$

这时即可记忆化（在bzoj上加了记忆化就从12ms跑到0ms）。

注：由于double自身会有比较误差，便使用了自定义的struct；

而且亲测eps调到0.1在bzoj上也是可以过的（数据好水啊）

附代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <map>
using std::max;
using std::min;
const double eps = 1e-6;
struct Double{
  double x;
  Double(double x = .0):x(x) {}
  bool operator<(const Double c)const{
    return x + eps < c;
  }
  operator double()const{
    return x;
  }
};
std::map<Double, double> Map[11];
double dfs(Double t, int n) {
  if (n == 1) {
    if (t > 1.0) return t;
    return 1.0 / t;
  }
  if (Map[n].count(t)) return Map[n][t];
  double &ans = Map[n][t];
  ans = 1e15;
  for (int i = 1; i <= n / 2; ++i) {
    double ans1 = max(dfs(t / n * i, i), dfs(t / n * (n - i), n - i));
    double ans2 = max(dfs(t * n / i, i), dfs(t * n / (n - i), n - i));
    ans = min(ans, min(ans1, ans2));
  }
  return ans;
}
int main() {
  double x, y;
  int n;
  scanf("%lf%lf%d", &x, &y, &n);
  printf("%.6lf
", dfs(x / y, n));
  return 0;
}