BZOJ4475 [Jsoi2015]子集选取

Description

有一些({1dots n})的子集(A_{i,j}, 1leq jleq ileq k)共(frac{k(k+1)}2)个，满足(A_{i,j}subset A_{i+1,j}, A_{i,j}subset A_{i,j+1})。求这些集合有多少种方案。如果(A)和(B)两种方案中存在(i,j)使得(A_{i,j} eq B_{i,j})，则它们是不同的。(n, kleq 10^9)

Solution

对于(n=1)求出方案数，之后将这个方案数取(n)次幂即可。因为不同的元素之间是互不影响的。

(n=1)时，我实际上要从

[egin{matrix} A_{1,1}\ A_{2,1}&A_{2,2}\ A_{3,1}&A_{3,2}&A_{3,3}\ vdots&vdots&vdots&ddots\ A_{k,1}&A_{k,2}&A_{k,3}&cdots&A_{k,k} end{matrix} ]

这个三角中选出一些来包含(1)。

那么，我从这个矩阵左下角即(A_{k,1})的左下方开始，每次向右或上走一步，直到某个(A_{i,i})的左上角（或者(A_{k,k})的右下角）；走出这个折线的右下的集合包含(1)，其它不包含(1)。那么我一共会走((k-i+1)+(i-1)=k)步，每步可以向右/下走，所以共有(2^k)种方案。

综上，答案即为(2^{nk})。

Code

#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int mod = 1000000007;
int main() {
  int n, k;
  scanf("%d%d", &n, &k);
  int ans = 1, x = 2;
  for (n = (LL)n * k % (mod - 1); n; n >>= 1, x = (LL)x * x % mod)
    if (n & 1) ans = (LL)ans * x % mod;
  return printf("%d
", ans) & 0;
}