bzoj-3450 Easy概率DP 【数学期望】

Description

某一天WJMZBMR在打osu~~~但是他太弱逼了，有些地方完全靠运气:(
我们来简化一下这个游戏的规则
有n次点击要做，成功了就是o，失败了就是x，分数是按comb计算的，连续a个comb就有a*a分，comb就是极大的连续o。
比如ooxxxxooooxxx，分数就是2*2+4*4=4+16=20。
Sevenkplus闲的慌就看他打了一盘，有些地方跟运气无关要么是o要么是x，有些地方o或者x各有50%的可能性，用?号来表示。
比如oo?xx就是一个可能的输入。
那么WJMZBMR这场osu的期望得分是多少呢？
比如oo?xx的话，?是o的话就是oooxx => 9，是x的话就是ooxxx => 4
期望自然就是(4+9)/2 =6.5了

Input

第一行一个整数n，表示点击的个数
接下来一个字符串，每个字符都是ox？中的一个

Output

一行一个浮点数表示答案
四舍五入到小数点后4位
如果害怕精度跪建议用long double或者extended

Sample Input

4
????

Sample Output

4.1250

n<=300000

 

 

题解

　　考虑每一位对期望的贡献，假设现在在处理第 i 位，第 i 位以前有 L 个连续的o，这个可以看做特殊情况。

　　假设这一位是 o 那么 ∆i = (l + 1) ^ 2 - l ^ 2 = 2 * l + 1, 同时取期望 E(∆i) = 2 * E(l) + 1;

　　假设这一位是 x 那么 ∆i = 0;

　　假设这一位是 ? 那么 E(∆i) = p1 * X1 + p0 * X0 (其中，p1为这一位取一的概率，p0为取0的概率，X1为这一位取1的得分变化，X0同理)，那么X0 = 0，所以 E(∆i) = p1 * X1，E(∆i) = 0.5 * (2 * E(l) + 1) = E(l) + 0.5。

　　那么问题变为了如何求解期望长度。

　　假设这一位是 o 那么 E(l) + 1;

　　假设这一位是 x 那么 E(l) = 0;

　　假设这一位是 ? 那么 E(l) = 0.5 * 0 + 0.5 * (E(l) + 1);

　　

　　O(n)进行处理即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define drep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define REP(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define xx first
#define yy second
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = ~0U >> 1;
const i64 INF = ~0ULL >> 1;
//***************************************
 
int main() {
    int n;
    scanf("%d
", &n);
    double l(0), ans(0);
    char ch;
    while (n--) {
        ch = getchar();
        if (ch == 'o') ans += 2 * l + 1, l++;
        else if (ch == 'x') l = 0;
        else ans += l + 0.5, l = (l + 1) / 2;
    }
    printf("%.4lf", ans);
    return 0;
}