线性基

线性基

见到了活的wxy和dsr，激动，激动，激动。

定义：

线性基是一个数的集合，取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。

线性基三大性质：

1. 原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到。
2. 线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到 (0)。
3. 在保持性质一的前提下，数的个数是最少的。

构造

举个栗子

原序列：1 3 4 5

二进制：001 011 100 101

线性基：1 3 4

(d)​​ 数组为序列的线性基，如果 (d[i])​​​​​ 不为 (0)​​， 则二进制下(d[i])​的第 (i + 1)​​ 位一定为 (1)​​,，如果满足 $ a xor b xor c = 0 $​​​ , 那么 (a xor b = c)， 那么 (a xor c = b)。

void add(ll x) 
{
	for(int i = 62; i >= 0; i--)
	{
		if(x & (1ll << i)) 
		{
			if(d[i]) x ^= d[i];
			else { d[i] = x; break; }	
		}
	}
}

可以手摸一下，不能成功插入的是其他数能够异或的到的，剩下的可以插入。

求异或最大值

贪心的思想，从最高位开始。

ll query()
{
	ll ans = 0;
	for(int i = 62; i >= 0; i--)
		if((ans ^ d[i]) > ans) ans ^= d[i];
	return ans;
}

洛谷 3812 线性基【模板】

/*
Date:2021.7.25
Source:luogu 3812
konwledge: 线性基模板 
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define orz cout << "AK IOI"
#define ll long long

using namespace std;

inline ll read()
{
	int f = 0, x = 0; char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
inline void print(int X)
{
	if(X < 0) {X = ~(X - 1); putchar('-');}
	if(X > 9) print(X / 10);
	putchar(X % 10 + '0');
}
int n;
ll a[55], d[55 * 3];  
void add(ll x)
{
	for(int i = 62; i >= 0; i--)
	{
		if(x & (1ll << i)) 
		{
			if(d[i]) x ^= d[i];
			else { d[i] = x; break; }	
		}
	}
}
ll query()
{
	ll ans = 0;
	for(int i = 62; i >= 0; i--)
		if((ans ^ d[i]) > ans) ans ^= d[i];
	return ans;
}
int main()
{
	//freopen(".in","r",stdin);  
    //freopen(".out","w",stdout);
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
	{
    	scanf("%lld", &a[i]);
    	add(a[i]);
	}
    printf("%lld", query());
	return 0;
}

例题

4570 元素 哈哈，只有这一道