设函数 $z = f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，将 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $Delta sigma _{i},i=1,2,3,...,n$，$Delta sigma _{i}$ 表示第 $i$ 个子区域的面积，
在 $Delta sigma _{i}$ 上任取一点 $(xi_{i},eta_{i})$，做和
$$sum_{i=1}^{n}f(xi _{i},eta _{i})Delta sigma _{i}$$
记 $lambda$ 为 $n$ 个小区域的最大直径。
当分割越来越“精细”的时候，即 $lambda ightarrow 0,n ightarrow +infty$，分割后的子区域围成的图形就接近长方体，考虑式子
$$lim_{lambda ightarrow 0}sum_{i=1}^{n}f(xi _{i},eta _{i})Delta sigma _{i}$$
如果这个极限存在，且该极限值与区域 $D$ 的分法及 $(xi_{i},eta_{i})$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记为
$$iint_{D}^{}fleft ( x,y ight )dsigma = lim_{lambda ightarrow 0}sum_{i=1}^{n}f(xi _{i},eta _{i})Delta sigma _{i} = sum_{i=1}^{+infty}f(xi _{i},eta _{i})Delta sigma _{i}$$
$ullet$ 积分形式和累加形式做一个比较：
1）$dsigma$ 和 $Delta sigma$ 都是无穷小量，且都是标量，表示小闭区域的面积，无限趋于 0。$dsigma = dxdy$，$dx$ 和 $dy$ 是被分割后小闭区域的长和宽，都是标量，
乘积就是物理意义上的面积。
2）$x$ 和 $y$ 是积分变量，相当于 $xi$ 和 $eta$。$D$ 无穷分割后，在每个小长方体的底面上可以任取一点，用以计算对应函数值 $f(x,y)$。极限情况下，
$(x,y)$ 取遍 $D$ 内的每一个点，所以通过 $x$ 和 $y$ 或 $xi$ 和 $eta$ 可以确定积分区域。
3）符号 $iint_{D}^{}$ 表示在区域 $D$ 上极限求和，它不仅表示无穷项求和，还限定了积分区域，不同于定积分，二重积分只能够正向积分，即积分下限必须
小于积分上限。而 $lim_{lambda ightarrow 0}sum_{i=1}^{n} = lim_{lambda ightarrow 0}sum_{i=1}^{infty}$ 只是表示量级是无穷项累加，并不知道是哪个区域。
$ullet$ 二重积分的几何意义：若 $iint_{D}^{}fleft ( x,y ight )dsigma$ 存在，因为积分区间只能是正向的，所以只需考虑被积函数 $f(x,y)$ 的正负。当 $f(x,y)geq 0$ 时，
积分值是以 $D$ 为底，以曲面 $z = f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
$ullet$ 二重积分的计算：需要转化为定积分进行计算。
$$iint_{D}^{}fleft ( x,y ight )dsigma = iint_{D}^{}fleft ( x,y ight )dxdy = iint_{D}^{}fleft ( x,y ight )dydx$$
我们需要确定积分变量 $x$ 和 $y$ 各自的积分区间，换句话说，即确定 $x$ 和 $y$ 各自的约束条件，使其能构成区域 $D$，然后确定积分的先后顺序。
需要注意的是，先积分的变量(如先对 $x$ 积分)积分完成后，该变量就不存在了，第二次积分的被积函数只是关于 $y$ 的函数，所以
a. 先积分的变量的积分限是关于另一个积分变量的函数，即该坐标正方向上边界曲线函数。
b. 后积分变量的积分限是不含任何积分变量的常量，是边界最值，不然二重积分的结果就含有积分变量了。
下面进一步讲述如何确定积分限：无论是哪个坐标系，对谁积分，就向它的正方向画线，得到线所穿过的边界曲线函数或边界最值。
1）利用直角坐标系计算
a. 先 $y$ 后 $x$
i. 往 $y$ 轴正方向画条线，穿过边界曲线 $y = varphi _{1}(x),y = varphi _{2}(x)$。
ii. 往 $x$ 轴正方向画条线，确定坐标左右界(最值)，即两个常数 $x = a,x = b$。
$$iint_{D}^{}f(x,y)dxdy = int_{a}^{b}int_{varphi _{1}(x)}^{varphi _{2}(x)}f(x,y)dxdy = int_{a}^{b}[int_{varphi _{1}(x)}^{varphi _{2}(x)}f(x,y)dy]dx = int_{a}^{b}dxint_{varphi _{1}(x)}^{varphi _{2}(x)}f(x,y)dy$$
b. 先 $x$ 后 $y$
i. 往 $x$ 轴正方向画条线，穿过边界曲线 $x = phi _{1}(y),x = phi _{2}(y)$。
ii. 往 $y$ 轴正方向画条线，确定坐标上下界(最值)，即两个常数 $y = c,y = d$。
$$iint_{D}^{}f(x,y)dxdy = int_{c}^{d}int_{phi_{1}(y)}^{phi_{2}(y)}f(x,y)dxdy = int_{c}^{d}[int_{phi _{1}(y)}^{phi _{2}(y)}f(x,y)dx]dy = int_{c}^{d}dyint_{phi _{1}(y)}^{phi _{2}(y)}f(x,y)dx$$
2）利用极坐标计算
极坐标方法一般采用先 $ ho$ 后 $ heta$ 顺序进行积分。
i. 从极点开始画射线，穿过边界曲线 $ ho = ho _{1}( heta ), ho = ho _{2}( heta )$。
ii. 往逆时针方向画圆弧线，确定角度的边界(最值)，即$ heta =alpha , heta =eta $。
$$iint_{D}^{}f(x,y)dxdy = int_{alpha }^{eta }int_{ ho _{1}( heta )}^{ ho _{2}( heta )}f( ho cos heta , ho sin heta ) ho d ho d heta = int_{alpha }^{eta }d hetaint_{ ho _{1}( heta )}^{ ho _{2}( heta )}f( ho cos heta , ho sin heta ) ho d ho$$