树链剖分求LCA

这里先推荐两道练习的裸题

首先是求点

【codevs4605】 LCA

就是求两个点的公共祖先，每次询问xor上上一个询问的答案。

先是两遍DFS：

dfs1：把dep、siz、son求出来

dfs2：求出top和w

siz[v]表示以v为根的子树的节点数

dep[v]表示v的深度(根深度为1)

top[v]表示v所在的链的顶端节点

fa[v]表示v的父亲

son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点

w[v]结点编号

int lca(int x,int y)
{
　　while (top[x]!=top[y])
　　{
　　　　int a=fa[top[x]];
　　　　int b=fa[top[y]];
　　　　if (dep[a]<dep[b])
　　　　　　swap(a,b),swap(x,y);
　　　　x=fa[top[x]];
　　}
　　return dep[x]<dep[y] ? x : y;
}

下面来分析这个算法。

 

1:如果top[a]==top[b]，说明a和b在同一条重链上，显然它们中深度较小的点即为它们的最近公共祖先。

2：如果top[a]!=top[b],（说明a,b在不同的重链上）且a的深度较大，则此时a，b的LCA不可能在a所在的重链上。

因为如果a，b的LCA在a所在重链上，那么top[a]显然也为a，b的公共祖先，则若dep[up[a]]]>dep[b],则显然不可能，若dep[up[a]]]<=dep[b]，则设dep[up[a]]]为d，因为d>=dep[b],所以我沿着b向上搜索，在深度d处也可以找到一个点C为b的祖先，又因为a，b不在同一条重链上，所以top[a]!=C,这就意味着在同一深度，b有两个不同的祖先，这是不可能的（因为是一棵树），所以，LCA不可能在a所在的重链上。所以我们可以将a上升到up[a]的父节点，这时a,b的LCA没有变化。

3：若果top[a]!=top[b],且b的深度较大，同理我们可将b上升到up[b]的父节点。

4: a，b不停地上升，所以一定可以找到a,b的LCA。

因为我们知道，在树中任意一点到根的路径上，重链数不会超过(logn),所以我们可以在O(logn)的时间复杂度内，将a，b的LCA求出来。

(证明来自:http://www.xuebuyuan.com/552070.html)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

#define N 100010

struct edge
{
    int to,next;
}e[N<<1];
int head[N<<1];
int cnt;

int fa[N],dep[N],son[N],top[N],siz[N],pos[N];

int n,m;

int x,y;
int ans;

int root;

void link(int x,int y)
{
    e[++cnt]=(edge){x,head[y]};
    head[y]=cnt;
}

void dfs(int x,int d)
{
    dep[x]=d;
    siz[x]++;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        dfs(e[i].to,d+1);
        siz[x]+=siz[e[i].to];
        if (siz[e[i].to]>siz[son[x]])
            son[x]=e[i].to;
    }
}

void dfs2(int x,int d)
{
    pos[x]++;
    top[x]=d;
    if (son[x])
        dfs2(son[x],d);
    for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
        if (e[i].to!=son[x])
            dfs2(e[i].to,e[i].to);
}

int lca(int x,int y)
{
    while (top[x]!=top[y])
    {
        int a=fa[top[x]];
        int b=fa[top[y]];
        if (dep[a]<dep[b])
            swap(a,b),swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    return dep[x]<dep[y] ? x : y;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&fa[i]);
        if (!fa[i])
        {
            root=i;
            continue;
        }
        link(i,fa[i]);
    }
    dfs(root,1);
    cnt=0;
    top[root]=root;
    dfs2(root,root);
    scanf("%d",&m);
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x^=ans;
        y^=ans;
        ans=lca(x,y);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

然后是求值

【codevs2370】 小机房的树

大意：求树上两点距离

我写了树链剖分

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

#define N 100010

struct edge
{
int to,next;
}e[N<<1];
int head[N<<1];
int cnt;

int fa[N],dep[N],son[N],top[N],siz[N],pos[N];

int n,m;

int x,y;
int ans;

int root;

void link(int x,int y)
{
　　e[++cnt]=(edge){x,head[y]};
　　head[y]=cnt;
}

void dfs(int x,int d)
{
　　dep[x]=d;
　　siz[x]++;
　　for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
　　{
　　　　dfs(e[i].to,d+1);
　　　　siz[x]+=siz[e[i].to];
　　　　if (siz[e[i].to]>siz[son[x]])
　　　　　　son[x]=e[i].to;
　　}
}

void dfs2(int x,int d)
{
　　pos[x]++;
　　top[x]=d;
　　if (son[x])
　　　　dfs2(son[x],d);
　　for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
　　　　if (e[i].to!=son[x])
　　　　　　dfs2(e[i].to,e[i].to);
}

int lca(int x,int y)
{
　　while (top[x]!=top[y])
　　{
　　　　int a=fa[top[x]];
　　　　int b=fa[top[y]];
　　　　if (dep[a]<dep[b])
　　　　　　swap(a,b),swap(x,y);
　　　　x=fa[top[x]];
　　}
　　return dep[x]<dep[y] ? x : y;
}

int main()
{ 
　　scanf("%d",&n);
　　for (int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　scanf("%d",&fa[i]);
　　　　if (!fa[i])
　　　　{
　　　　　　root=i;
　　　　　　continue;
　　　　}
　　　　link(i,fa[i]);
　　}
　　dfs(root,1);
　　cnt=0;
　　top[root]=root;
　　dfs2(root,root);
　　scanf("%d",&m);
　　while (m--)
　　{
　　　　scanf("%d%d",&x,&y);
　　　　x^=ans;
　　　　y^=ans;
　　　　ans=lca(x,y);
　　　　printf("%d
",ans);
　　}
　　return 0;
}

复杂度O(qlogn)，还是比较快的。