RSA加密

RSA加密是典型的非对称加密算法。RSA加密主要由五个部分组成：

• 原文M
• 密文C
• 公钥PU和私钥PR
• 加密算法E(x)
• 解密算法D(x)

RSA算法的实现整体又分为三个过程：

• 生成密钥对
• 加密
• 解密

实现上述三个步骤用到了六个数学变量p,q,n,φ(n),e,d，下文将会说明。

简单理解下RSA加密：任何计算机信息都能转换成二进制，也能转换成十进制整数。这里M是一个整数，选择一个数字e进行M的e次方运算，再选取整数N进行取模运算，结果用c表示。比如整数7用公钥（2，23）进行加密后得到密文3，我们可以看到给定M，e，N是很容易算出C的，但是给定e，n，C却很难得出M。这个时候我们就要用到私钥（d，n）来进行解密得到M，RSA的算法规则在适当的选择e和N的前提下一定存在一个d使得C^d mod n=M。RSA最复杂的地方在于如何适当的选择e和n，又如何运算出d。

数学基础

1. 素数

   质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。
   

2. 同余

    ≡ ：同余号。两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
   记作 a ≡ b (mod m) 
   # 3 mod 2 ≡ 1
   

3. 互质

   互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。
    * 任意两个质数构成互质关系，比如13和61
    * 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10
    * 如果两个数中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57
   	以上两条规则，可以抽象为ー条:质数，和不为自己倍数的自然数互质。
    * 1和任意一个自然数都是互质关系
    * p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56
    * p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15
   

4. 平方剩余

   假设p是素数，a是整数。 如果存在一个整数x使得x^2≡a(mod p) （即x^2-a可以被p整除）， 那么就称a在p的同余类中是平方剩余的。
   

5. 欧拉函数

   给定任意正整数n，计算在小于等于n的正整数中，有多少个与n构成互质关系，计算这个值的方法叫做欧拉函数。
   

   • 第一种情况：

     如果n=1，则φ(1)=1。1与任何自然数都构成互质。

   • 第二种情况：

     如果n是质数，则φ(n)=n-1。质数与每个小于他的数都构成互质。

   • 第三种情况：

     如果n是质数的某一个次方，即n=p^k（p为质数，k<=1），则

     [φ(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{K(1-frac1p)} ]

   • 第四种情况：

     n可以分解成两个互质的整数之积，n=p1*p2，则φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)φ(p2)。

   • 第五种情况：

     任意大于1的整数，都可以写成一系列质数的积。

     [n=p^{k1}_1p^{k2}_2p^{k3}_3...p^{kr}_r ]

     根据第四条结论

     [φ(n)=φ(p^{k1}_1)φ(p^{k2}_2)...φ(p^{kr}_r) ]

     根据第三条结论

     [φ(n)=p^{k1}_1p^{k2}_2p^{k3}_3...p^{kr}_r(1-frac1{p1})(1-frac1{p2})...(1-frac1{pr}) ]

     等于

     [φ(n)=n(1-frac1{p1})(1-frac1{p2})...(1-frac1{pr}) ]

     例：

     [φ(1323)=φ(3^2*7^2)=1323*(1-frac13)(1-frac17)=756 ]

6. 欧拉定理

   如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立：

   [a^{φ(n)}≡1(mod\,n) ]

   a的φ(n)次方减去1能被n整除

7. 费马小定理（费马小定理是欧拉定理的一个特例）

   如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则

   [a^{p-1}≡1(mod\,p) ]

8. 模反元素

   如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除

   [ab≡1(mod\,n) ]

RSA加密过程

生成密钥对

1. 随机生成两个足够大的素数p,q
2. 计算公共模数 n=p*q
3. 计算欧拉函数φ(n)=(p−1)∗(q−1)。p，q必须严格保密。
4. 选取一个与φ(n)互质的数e作为公钥指数，且1<e<φ(n)。公钥PU=(e,n)
5. 计算私钥指数d，d满足(d*e)mod φ(n)=1。私钥PR=(d,n)

加密

[C=M^emod\,n（C为密文） ]

解密

[M=C^dmod\,n（M为明文） ]

目前被破解的最长RSA密钥就是768位，因此我们认为1024位以上的密钥长度是安全的。