离散数学知识点总结（7）-格

一、格

假设(L, ≤)为偏序集，如果对于任意 a, b∈L ，{a, b} 都存在上确界和下确界，则称 (L, ≤) 为一个格（lattice）

显然上确界和下确界有唯一性

上确界LUB({a, b})记作a∨b，称之为a与b的并（join）

下确界GLB({a, b})记作a∧b，称之为a与b的交（meet） 

举例：对任意a, b∈L，a≤b

全序集(A , ≤)必然是格，a∨b=b，a∧b=a

(Z+, |)是一个格，a∨b=LCM(a , b)，a∧b=GCD(a , b)

(P(S) , ⊆)是一个格（幂集格），a∨b=a∪b，a∧b=a∩b

恒等关系IS是偏序关系，但(S , I_S)不是格（如果偏序集中存在孤立顶点，一定不会构成格）

a∨b=b  a≤b  a∧b=a，因此≤关系实际可用∨和∧来表示，(L , ≤)可记作(L, ∨ , ∧) 

对任意a, b, c∈L，显然有：

（1）幂等律：a∨a=a∧a=a

（2）交换律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a

（3）结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

（4）吸收律：a∨(a∧b)=a∧(a∨b)=a

但是格中运算不满足分配律：a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)

格的等价定义：设<S , * , ○>是具有两个二元运算的代数系统，且对于*和○都满足交换律、结合律、吸收律，则可以适当定义S中的偏序关系≤，使得(S , ≤)是格，此时∀a , b∈S都有a∧b=a*b，a∨b=a○b

证明：由吸收律a=a○(a*b)=a*(a○b)可以推得幂等律a*a=a*(a○(a*a))=a，同理a○a=a

　　　定义二元关系R，当a○b=b时(a , b)∈R，R是S上的偏序关系

　　　　自反性：∀a∈S都有a○a=a，(a , a)∈R

　　　　反对称性：aRb且bRa ⟺a○b=b=b○a=a

　　　　传递性：aRb且bRc ⟹ a○b=b且b○c=c ⟹b○c=c=(a○b)○c=a○(b○c)=a○c ⟹aRc

　　  偏序关系R还可以表述为，当a*b=a时(a , b)∈R

　　  若a○b=b则a*b=a*(a○b)=a，若a*b=a则a○b=(a*b)○b=b○(b*a)=b，从而有a○b=b ⟺a*b=a ⟺a≤b  

  　　　　a , b∈S，a○(a○b)=(a○a)○b=a○b，b○(a○b)=a○(b○b)=a○b，从而有a≤a○b，b≤a○b，故a○b就是{a , b}的上界

　　　　 设c也是{a , b}的上界，a○c=b○c=c，(a○b)○c=a○(b○c)=a○c=c，从而有a○b≤c，故a○b就是{a , b}最小上界

  　　　　a , b∈S，(a*b)*a=(a*a)*b=a*b，(a*b)*b=a*(b*b)=a*b，从而有a*b≤a，a*b≤b，故a*b就是{a , b}的下界

 　　　　设d也是{a , b}的下界，d*a=d*b=d，d*(a*b)=(d*a)*c=d*c=d，从而有d≤a*b，故a*b就是{a , b}最大下界

此外，格还具有保序性：

（1）a≤b时，a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c

（2）a≤b且c≤d时，a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d

（3）a≤c且b≤c  a∨b≤c

（4）c≤a且c≤b  c≤a∧b

子格：S⊆L，对任意a, b∈S有a∨b , a∧b∈S，则称S是L的一个子格

例如：n|m时，(D_n, |)是(D_m, |)的子格

  取D₃₀的一部分，6∧15=3不在S中，故不构成子格 

二、布尔代数

格(L, ∨ , ∧)如果满足a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∧c)，a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，那么L是分配格（两个等式成立一个，另一个一定成立）

全上界/全下界：若存在a∈L使得∀x∈S有x≤a / a≤x，a就是L的全上界/全下界

格L中存在全上界和全下界时，称为有界格。此时全下界记为0，全上界记为1

有限格一定存在全上界（所有元素的∨）和全下界（所有元素的∧），因此一定是有界格

设(L, ∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格，a∈L，若存在b∈L使得a∧b=0且a∨b=1，则a与b互为补元，定义'为求补运算

有界分配格中，a的补元若存在则必唯一

证明：假设a存在两个补元b和c，a∧b=a∧c=0，a∨b=a∨c=1

 b=b∧(b∨a)=b∧(c∨a)=(b∧c)∨(b∧a)=(b∧c)∨(c∧a)=(b∨a)∧c=(a∨c)∧c=c

设(L, ∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格，∀a∈L，在L中都有补元存在，L是有补格(L, ∨ , ∧ , ' , 0 , 1)

布尔格/布尔代数/有补分配格：每个元素都存在着唯一的补格

例如：S的幂集格(P(S) , ∩ , ∪ , ~ , ∅, S)构成布尔代数（幂集代数）

 数理逻辑中的命题代数、数字电路中的逻辑代数都是布尔代数

布尔代数中有：双重否定律(a')'=a

      德摩根律(a∨b)'=a'∧b'，(a∧b)'=a'∨b'

∀b∈L，都有0<b≤a ⟺b=a，则a是L中的原子

例如若L是正整数n的全体正因子关于整除关系构成的格，L的原子就是n的全体素因子

例如若L是集合B的幂集格，L的原子就是B中单个元素构成的单元集

若L是有限布尔代数，A是L的全体n个原子构成的集合，则A的幂集代数P(A)与L同构，|A|=n，|P(A)|=|L|=2ⁿ

任何等势的有限布尔代数都是同构的；任何有限布尔代数的基数都是2的幂

因此在同构的意义上，对于2的任意次幂，仅存在一个2ⁿ元的布尔代数