https://zybuluo.com/ysner/note/1177020
题面
(zsy)发现黑红树具有一些独特的性质。
- 这是二叉树,除根节点外每个节点都有红与黑之间的一种颜色。
- 每个节点的两个儿子节点都被染成恰好一个红色一个黑色。
- 这棵树你是望不到头的(树的深度可以到无限大)
- 黑红树上的高度这样定义:$$h_{根节点}=0,h_{son}=h_{fa}+1$$
(zsy)想从树根顺着树往上爬。他有(frac{p}{q})的概率到达红色的儿子节点,有 (1-frac{p}{q})的概率到达黑色节点。
但是他知道如果自己经过的路径是不平衡的,他会马上摔下来。
一条红黑树上的链是不平衡的,当且仅当红色节点与黑色节点的个数之差大于(1)。
现在他想知道(Q)次他刚好在高度为(h)的地方摔下来的概率的精确值 (frac{a}{b}),要求输出(a),(b)分别对(k)取模后的结果。
- (nleq10^6,Qleq10^6,kleq10^9+7)（(n)代表高度）
解析
(zsy)显然不可能在奇数层掉下来，因为他在偶数层时肯定红黑节点个数相等。
看到奇数层(puts("0 0");)
对于偶数层，设(dp[i])表示在该层活着的概率，设(die[i])表示在该层死掉的概率。（哪像我还把颜色和红黑节点数量差作为状态）
然后列(DP)转移方程
[dp[i]=dp[i-2]*frac{p}{q}*frac{q-p}{q}*2
]
[die[i]=dp[i-2]*(frac{p^2}{q^2}+frac{(q-p)^2}{q^2})
]
（肯定要经过一个红节点和一个黑节点，然后两者可以倒过来，则乘(2)）
于是第(i)层挂掉的概率为
[dp[i-2]*(frac{p^2}{q^2}+frac{(q-p)^2}{q^2})=dp[i-2]*frac{2p^2+q^2-2pq}{q^2}
]
这玩意儿可以(O(n))预处理，然后(O(Q))答完询问，总复杂度为(O(n))
（当然你要(O(Qlogn))在线快速幂我也拦不住)
对于乘爆情况，先把(frac{2p(q-p)}{q^2},frac{2p^2+q^2-2pq}{q^2})约分掉，保证计算过程中不用约分，就可以直接取模了。
注意楼层有负数
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll unsigned long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
ll p,q,las,dp[2][1000005],live[2],die[2],h;
int T,k;
il ll GCD(re ll x,re ll y)
{
if(x<y) swap(x,y);
while(y)
{
re ll tmp=y;
y=x%y;x=tmp;
}
return x;
}
int main()
{
freopen("brtree.in","r",stdin);
freopen("brtree.out","w",stdout);
p=gi();q=gi();T=gi();k=gi();
live[0]=p*(q-p)*2;live[1]=q*q;
re ll gcd=GCD(live[0],live[1]);live[0]/=gcd;live[1]/=gcd;
die[0]=2*p*p+q*q-2*p*q;die[1]=q*q;
gcd=GCD(die[0],die[1]);die[0]/=gcd;die[1]/=gcd;
dp[0][0]=dp[1][0]=1;
fp(i,2,(int)(1e6+2)) dp[0][i]=(dp[0][i-2]*live[0])%k,dp[1][i]=(dp[1][i-2]*live[1])%k;
fp(i,1,T)
{
h=gi()-las;
if((h&1)||h<=1) {las=0;puts("0 0");continue;}
las=dp[0][h-2]*die[0]%k;
printf("%lld %lld
",las,dp[1][h-2]*die[1]%k);
}
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}