[小学奥数][组合计数]传球问题

题目原型

有(m(mgeqslant 3))人相互传球，(n(ngeqslant 3))次后球又传回发球人手中，求传球方法(S(m,n))和概率(P(m,n))？

解题方法

首先球传(n)次，一共有((m-1)^n)种传球方法。
求传球方法的种类数量：

1. 枚举法
   当(m+n geqslant 8)时，可以尝试用枚举法。
   如(m=3,n=5)时，将三人分别记为(A,B,C)，发球人不妨设为(A)：
   
   总共有10中传球方法。
2. 公式法
   (S(m,n)=frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m})
   证明（数学归纳法）：不妨设(a_1,a_2,cdot cdot cdot cdot cdot cdot a_m)共(m)人在传球，为发球人(a_1)。
   有：
   球传1次 一共有：((m-1)^1)种、到(a_1)有：(S(m,1)=0)种；
   球传2次 一共有：((m-1)^2)种、到(a_1)有：(S(m,2)=(m-1)^1)种；
   球传3次 一共有：((m-1)^3)种、到(a_1)有：(S(m,3)=(m-1)^2-(m-1))种；（第2次传给(a_1)时第3次不可能再传给(a_1)）
   球传4次 一共有：((m-1)^4)种、到(a_1)有：(S(m,4)=(m-1)^3-[(m-1)^2-(m-1)])种；（第3次传给(a_1)时第4次不可能再传给(a_1)）
   (cdot cdot cdot cdot cdot cdot)
   若：
   球传(n-1)次 一共有：((m-1)^{n-1})种、到(a_1)的种类数为：$$S(m,n-1)=sum_{i=1}^{n-1}(-1){(n-1)+1-i}(m-1)^{i}$$
   那么：
   球传(n)次 一共有：((m-1)^{n})种、到(a_1)的种类数为：$$S(m,n)=(m-1)^{{n-1}-sum_{i=1}}{n-1}(-1)^{n-i}(m-1){i}$$ $$=sum_{i=1}^{n}(-1){n+1-i}(m-1)^{i}$$ $$=frac{(m-1)^n+(-1)n(m-1)}{m}$$
   （第(n-1)次传给(a_1)时第(n)次不可能再传给(a_1)，等比数列求和）
   得证。
3. 递推法
   讨论球传(n-1)次，一共有((m-1)^{n-1})种传法
   其中到(a_1)的种类数为$$S(m,n-1)=sum_{i=1}^{n-1}(-1){(n-1)+1-i}(m-1)^{i}$$
   那么不传给(a_1)就有((m-1)^{n-1}-sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{n-i}(m-1)^{i}=frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m})种；这也就是球传(n)次，传到(a_1)的种类数(S(m,n))。
   于是$$S(m,n-1)+S(m,n)=(m-1)^{n-1}$$
   概率为：
   [P(m,n)=frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m(m-1)^n} ]