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  • leetcode204-统计质数个数之一步步调试超时

    题目:统计所有小于非负整数 n 的质数的数量

    0 <= n <= 5000000

    示例 1:输入:n = 10, 输出:4 , 解释:小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 

    示例 2:输入:n = 0 ,输出:0;输入:n = 1 ,输出:0

    思路:n=0,1,2时,容易得到数量为0;n>2时,遍历[3,n)的所有整数,判断是否为质数

    先提下数学基础:质数也叫素数,n(n>1)为素数当且仅当n只有1和n两个因子(就是约数)

    另外,一个非负自然数的因子总是成对出现,因为是整除,总有除数和商,就是他俩

    解答

    第一次提交:

    class Solution {
        public int countPrimes(int n) {
            if (n == 0 || n == 1 || n == 2) {
                return 0;
            }
            int count = 0;
            for (int i = 2; i < n; i++) {
                boolean isPrime = true;
                for (int j = 2; j < i; j++) {-----------------------范围缩小
                    if (i % j == 0) {
                        isPrime = false;
                        break;
                    } 
                }
                if (isPrime) {
                    count++;
                }
            }
            return count;
        }
    }

    提交:超时...............这里很容易想到,在判断是否为素数时,其实不需要判断到i-1,只用判断到[2,i/2]即可

    修改提交:

    class Solution {
        public int countPrimes(int n) {
            if (n == 0 || n == 1 || n == 2) {
                return 0;
            }
            int count = 0;
            for (int i = 2; i < n; i++) {
                boolean isPrime = true;
                for (int j = 2; j <= i/2; j++) {-----------------------范围需要继续缩小
                    if (i % j == 0) {
                        isPrime = false;
                        break;
                    } 
                }
                if (isPrime) {
                    count++;
                }
            }
            return count;
        }
    }

    提交--------->超时,提示是在n=499979时超时的;看起来还要优化,那就从数学角度,这次修改,j的上界是i/2,

    这是因为从2开始遍历的,而2是最小的素数;一个自然数的约数总是成对出现,那在上面的提示位置,可以在判断

    i不能整除j时,将上界继续缩小;可以定义一个变量high初始值为i/2,并随着j变化:high=i/j;

    修改提交:

    class Solution {
        public int countPrimes(int n) {
            if (n == 0 || n == 1 || n == 2) {
                return 0;
            }
            int count = 0;
            for (int i = 2; i < n; i++) {
                boolean isPrime = true;
                int high = i/2;
                for (int j = 2; j < i; j++) {-----------------------范围需要继续缩小
                    if(j>high){
                        break;
                    }               
                    if (i % j == 0) {
                        isPrime = false;
                        break;
                    } 
                    high = i/j;
                }
                if (isPrime) {
                    count++;
                }
            }
            return count;
        }
    }    

    提交-------------->呵呵呵,还是超时,提示是在n=1500000,优化起效了,于是继续探索

    如果我判断了不能被2整除,还需要判断能不能被4,8,16...这些数整除吗?不需要

    如果我判断了不能被3整除,还需要判断能不能被6,9,12...这些数整除吗?不需要

    如果我判断了不能被7整除,还需要判断能不能被14,35,49...这些数整除吗?也不需要

    我们已知所有合数均能分解为一个个质因子,所以,对一个自然数n,只需要遍历所有小于n的质数,如果n都不能整除它们,

    那n就是素数,正好第一层的循环可以保存所有上一次判断出来的质数,为了一步到位,前面探索high的定义结合在一起

    修改提交:

    public class Solution {
    
        public static int countPrimes(int n) {
            if (n == 0 || n == 1 || n == 2) {
                return 0;
            }
            int count = 0;
            List<Integer> list = new ArrayList<>();
            for (int i = 2; i < n; i++) {
                boolean isPrime = true;
                int high = i / 2;
                for (int j = 0; j < list.size(); j++) {
                    int a = list.get(j);
                    if (a > high) {
                        break;
                    }
                    if (i % a == 0) {
                        isPrime = false;
                        break;
                    }
                    high = i / a;
                }
                if (isPrime) {
                    count++;
                    list.add(i);
                }
            }
            return count;
        }
    }
    通过,超过25%的java提交者
    执行用时: 341 ms
    内存消耗: 38.6 MB
    常规思路,只打败了25%......优化余地还很大,推测是求余运算和除法运算耗时间,或者是判断素数的方式还有更优的
    这里就不单独去求证素数的特殊性质了
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