（一）：细说贝叶斯滤波：Bayes filters

认知计算，还要从贝叶斯滤波的基本思想讲起，本文主要是对《Probabilistic Robotics》中贝叶斯滤波器部分的详细讲解。

这一部分，我们先回顾贝叶斯公式的数学基础，然后再来介绍贝叶斯滤波器。

(一). 概率基础回顾

我们先来回顾一下概率论里的基本知识：

1. ( X ):  表示一个随机变量，如果它有有限个可能的取值( {x_1, x_2, cdots, x_n } ).

2. ( p(X=x_i) ):表示变量( X )的值为 ( x_i )的概率。

3. ( p(cdot) ):称为概率质量函数(probability mass function).

    例如：一个家里有3个房间，机器人在各个房间的概率为 ( p(room)={0.1, 0.3, 0.6} ).

4. 如果( X )在连续空间取值，( p(x) )称为概率密度函数(probability density function)，

$$p (x in (a,b)) = intlimits_a^b {p(x)dx} $$

图1. 概率密度函数曲线示例

5. 联合概率：$ p(X=x ~~ extrm{and} ~~Y=y) = p(x,y) $，称为联合概率密度分布。如果$X$和$Y$是相互独立的随机变量，$p(x,y)=p(x)p(y)$。

6. 条件概率：$ p(X=x|Y=y) $ 是在已知$Y=y$的条件下，计算$X=x$的概率。

$$ p(x|y)=p(x,y)/p(y)$$

$$ p(x,y)=p(x|y)p(y)=p(y|x)p(x)$$

    如果$x$和$y$相互独立，则：

$$ p(x|y)=p(x)$$

7. 全概率公式：

  离散情况下:

$$p(x) = sumlimits_y {p(x,y)}=sumlimits_y {p(x|y)p(y)} $$

  连续情况下：

$$p(x) = int {p(x,y);dy} = int {p(x|y)p(y);dy} $$

(二). 贝叶斯公式

2.1 贝叶斯公式

基于条件概率公式和全概率公式，我们可以导出贝叶斯公式：

$$egin{array}{c}
P(x,y) = P(x|y)P(y) = P(y|x)P(x)\
Rightarrow \
P(x\,left| {\,y} ight.) = frac{{P(y|x)\,\,P(x)}}{{P(y)}} = frac{{{ extrm{causal knowledge}} cdot { extrm{prior knowledge}}}}{{{ extrm{prior knowledge}}}}
end{array}$$

• 这里面$x$一般是某种状态；$y$一般是代表某种观测。
• 我们称${P(y|x)}$为causal knowledge，意即由$x$的已知情况，就可以推算$y$发生的概率，例如在图2的例子中，已知如果门开着，则$z=0.5m$的概率为0.6；如果门关着，则$z=0.5m$的的概率为0.3。
• 我们称${P(x)}$为prior knowledge，是对$x$的概率的先验知识。例如在图2的例子中，可设门开或关的概率各占$50\%$.
• ${P(x|y)}$是基于观测对状态的诊断或推断。贝叶斯公式的本质就是利用causal knowledge和prior knowledge来进行状态推断或推理。

例1:：

在图2所示的例子中，机器人根据观测的到门的距离，估算门开或关的概率，若测量到门的距离为$z=0.5m$，则可用条件概率描述门开着的概率：

      $$P( extrm{open}|z=0.6) = ?$$

图 2.机器人根据观测计算门开或关的概率

$$egin{array}{l}
P(open|z=0.5) = { extstyle{{P(z|open)P(open)} over {P(z)}}}{~~~~ m{      <--贝叶斯公式 }}\
= frac{{P(z|open)P(open)}}{{P(z|open)p(open) + P(z| eg open)p( eg open)}}{~~~~ m{   <--全概率公式 }}\
= frac{{0.6 cdot 0.5}}{{0.6 cdot 0.5 + 0.3 cdot 0.5}} = 2/3
end{array}$$

2.2 贝叶斯公式的计算

可以看到贝叶斯公式的分母项${P(y)}$，同${P(x|y)}$无关，所以可以把它作为归一化系数看待：

$$egin{array}{l}
P(x\,left| {\,y} ight.) = frac{{P(y|x)\,\,P(x)}}{{P(y)}} = eta ;P(y|x)\,P(x)\
eta  = P{(y)^{ - 1}} = frac{1}{{sumlimits_x {P(y|x)} P(x)}}
end{array}$$

所以基于causal knowledge和prior knowledge进行条件概率计算的过程如下：

Algorithm:

$egin{array}{l}
forall x:{ m{au}}{{ m{x}}_{x|y}} = P(y|x)\,\,P(x)\
eta  = frac{1}{{sumlimits_x {{ m{au}}{{ m{x}}_{x|y}}} }}\
forall x:P(x|y) = eta ;{ m{au}}{{ m{x}}_{x|y}}
end{array}$

 

2.3 贝叶斯公式中融合多种观测

在很多应用问题中，我们会用多种观测信息对一个状态进行猜测和推理，贝叶斯公式中是如何融合多种观测的呢？

我们简单推导一下：

$$egin{array}{l}
P(x|y,z){ m{ = }}frac{{P(x,y,z)}}{{P(y,z)}}\
= frac{{P(y|x,z)p(x,z)}}{{P(y,z)}}\
= frac{{P(y|x,z)p(x|z)p(z)}}{{P(y|z)p(z)}}\
= frac{{P(y|x,z)p(x|z)}}{{P(y|z)}}
end{array}$$

所以有：

$$P(x|y,z) = frac{{P(y|x,z)\,\,P(x|z)}}{{P(y|z)}}$$

2.4 贝叶斯递推公式

由此，我们来推导贝叶斯滤波的递推公式：

$P(x|z_1, ldots ,z_n) =?$

我们把$z_n$看做$y$，把$z_1, ldots, z_{n-1}$看做$z$，代入上面的公式：

$$P(x|z_1, ldots ,z_n) = frac{{P(z_n|x,z_1, ldots ,z_{n – 1});P(x|z1, ldots ,z_{n – 1})}}{{P(z_n|z_1, ldots ,z_{n – 1})}}$$

再由Markov属性，在$x$已知的情况下，$z_n$同${z_1, ldots ,z_{n – 1}}$无关，所以：

$$egin{array}{c}
P(x|z_1, ldots ,z_n) = frac{{P(z_n|x,z_1, ldots ,z_{n – 1});P(x|z1, ldots ,z_{n – 1})}}{{P(z_n|z_1, ldots ,z_{n – 1})}}\
=frac{{P(z_n|x);P(x|z1, ldots ,z_{n – 1})}}{{P(z_n|z_1, ldots ,z_{n – 1})}}
end{array}$$

从而我们得到贝叶斯的递推公式：

$$egin{array}{*{20}{l}}
{P(x|{z_1}, ldots ,{z_n})}&{ = frac{{P({z_n}|x);P(x|{z_1}, ldots ,{z_{n{ m{ - }}1}})}}{{P({z_n}|{z_1}, ldots ,{z_{n - 1}})}}}\
{}&{ = {eta _n};P({z_n}|x);P(x|{z_1}, ldots ,{z_{n - 1}})}\
{}&egin{array}{l}
= {eta _n};P({z_n}|x);{eta _{n - 1}}P({z_{n - 1}}|x)P(x|{z_1}, ldots ,{z_{n - 2}})\
= {eta _1} cdots {eta _n};prodlimits_{i = 1...n} {P({z_i}|x)} ;P(x)
end{array}
end{array}$$

例2：在例1的基础上，如果机器人第二次测量到门的距离仍然为0.5米， 计算门开着的概率。

$egin{array}{lllll}
P(open|{z_2},{z_1}) &  = ;;frac{{P({z_2}|open);P(open|{z_1})}}{{P({z_2}|open);P(open|{z_1}) + P({z_2}| eg open);P( eg open|{z_1})}}\
&  = ;;frac{{0.6 cdot frac{2}{3}}}{{0.6 cdot frac{2}{3} + 0.3 cdot frac{1}{3}}};; = ;;frac{{0.4}}{{0.5}};; = ;;0.8
end{array}$

所以，第二次z=0.5m的观测增大了对门开着的概率的置信程度。

(三). 如何融入动作？

在实际问题中，对象总是处在一个动态变化的环境中，例如：

1. 机器人自身的动作影响了环境状态
2. 其它对象，比如人的动作影响了环境状态
3. 或者就是简单的环境状态随着时间发生了变化。

如何在Bayes模型中来描述动作的影响呢?

1. 首先，动作所带来的影响也总是具有不确定性的
2. 其次，相比于观测，动作一般会使得对象的状态更为模糊（或更不确定）。

 

我们用$u$来描述动作，在$x'$状态下，执行了动作$u$之后，对象状态改变为$x$的概率表述为：

$$P(x|u,x’)$$

动作对状态的影响一般由状态转移模型来描述。如图3所示，表示了“关门”这个动作对状态影响的转移模型。这个状态转移模型表示：关门这个动作有0.1的失败概率，所以当门是open状态时，执行“关门”动作，门有0.9的概率转为closed状态，有0.1的概率保持在open状态。门是closed的状态下，执行“关门”动作，门仍然是关着的。

图3. “关门”动作的状态转移模型

执行某一动作后，计算动作后的状态概率，需要考虑动作之前的各种状态情况，把所有情况用全概率公式计算：

• 连续情况下：

$$P(x|u) = int {P(x|u,x')P(x')dx'} $$

• 离散情况下：

$$P(x|u) = sum {P(x|u,x')P(x')} $$

例3：在例2的基础上，如果按照图3所示的状态转移关系，机器人执行了一次关门动作， 计算动作后门开着的概率？

$$egin{array}{lllll}
P(open|u) &  = sum {P(open|u,x')P(x')} \
& \,\, = P(open|u,open)P(open)\
& quad  + P(open|u,closed)P(closed)\
& {kern 1pt} ; = frac{1}{{10}} * 0.8 + frac{0}{1} * 0.2 = 0.08\
end{array}$$

$$egin{array}{lllll}
P(closed|u) &  = sum {P(closed|u,x')P(x')} \
& \,\, = P(closed|u,open)P(open)\
& quad  + P(closed|u,closed)P(closed)\
& {kern 1pt} ; = frac{9}{{10}} * 0.8 + frac{1}{1} * 0.2 = 0.92
end{array}$$

所以，执行一次关门动作后，门开着的概率变为了0.08.

(四). 贝叶斯滤波算法

4.1 算法设定

由上述推导和示例，我们可以给出贝叶斯滤波的算法，算法的输入输出设定如下。

1. 系统输入
   1. 1到$t$时刻的状态观测和动作：${d_t} = { {u_1},{z_1}; ldots ,{u_t},{z_t}} $
   2. 观测模型：$P(z|x)$
   3. 动作的状态转移模型：$P(x|u,x’)$
   4. 系统状态的先验概率分布$P(x)$.
2. 期望输出
   1. 计算状态的后延概率，称为状态的置信概率：$Bel({x_t}) = P({x_t}|{u_1},{z_1}; ldots ,{u_t},{z_t})$

 

4.2 算法基本假设

贝叶斯滤波的基本假设：

        1. Markov性假设: $t$时刻的状态由$t-1$时刻的状态和$t$时刻的动作决定。$t$时刻的观测仅同$t$时刻的状态相关，如图4所示：

图4. Markov模型

$p({z_t}|{x_{0:t}},{z_{1:t}},{u_{1:t}})\,\,\, = \,\,\,p({z_t}|{x_t})$
$p({x_t}|{x_{1:t - 1}},{z_{1:t}},{u_{1:t}})\,\,\, = \,\,\,p({x_t}|{x_{t - 1}},{u_t})$

       2. 静态环境，即对象周边的环境假设是不变的

       3. 观测噪声、模型噪声等是相互独立的

4.3 Bayes滤波算法

基于上述设定和假设，我们给出贝叶斯滤波算法的推导过程：

$Bel({x_t}) = P({x_t}|{u_1},{z_1}; ldots ,{u_t},{z_t})$

$ = eta ;{kern 1pt} P({z_t}|{x_t},{u_1},{z_1}, ldots ,{u_t});P({x_t}|{u_1},{z_1},; ldots ,{u_t})  ~~~~~~ m{<—Bayes}$

$ = eta ;{kern 1pt} P({z_t}|{x_t});P({x_t}|{u_1},{z_1},; ldots ,{u_t})~~~~~~ m{<—Markov}$

$ !=! eta P({z_t}|{x_t})int {P({x_t}|{u_1},{z_1},! ldots ,{u_t},{x_{t - 1}})} P({x_{t - 1}}|{u_1},{z_1}, ldots ,{u_t})d{x_{t - 1}})~ m{<—Total Prob}.$

$ = eta P({z_t}|{x_t})int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} P({x_{t - 1}}|{u_1},{z_1}, ldots ,{u_t})d{x_{t - 1}}); m{<—Markov}$

$ = eta P({z_t}|{x_t})int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}}){mkern 1mu} } P({x_{t - 1}}|{u_1},{z_1}, ldots ,{z_{t - 1}})d{x_{t - 1}}); m{<—Markov}$

$ = eta P({z_t}|{x_t})int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} Bel({x_{t - 1}});d{x_{t - 1}}$

其中第一步采用贝叶斯公式展开，第二步使用Markov性质($z_t$仅由$x_t$决定)；第三步使用全概率公式对$x_{t-1}$进行展开；第四步继续使用Markov性质($x_t$仅由$x_{t-1}$和$u_t$决定)；第五步继续使用Markov性质，因为$x_{t-1}$同$u_t$无关，最终得到$Bel(x_t)$的递推公式。

可见递推公式中分为两个步骤，$int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} Bel({x_{t - 1}});d{x_{t - 1}}$部分是基于$x_{t-1}, u_t$预测$x_t$的状态；$eta P({z_t}|{x_t})$部分是基于观测$z_t$更新状态$x_t$.

4.3 Bayes滤波算法流程

所以，Bayes滤波的算法流程图如图5所示。如果$d$是观测，则进行一次状态更新，如果$d$是动作，则进行一次状态预测。

图5. Bayes滤波的算法流程

我们看到，在进行状态预测时，需要对所有可能的$x’$状态进行遍历，使得基本的Bayes模型在计算上成本是较高的。

4.3 Bayes滤波算法的应用

Bayes滤波方法是很多实用算法的基础，例如：

• Kalman滤波
• 扩展Kalman滤波
• 信息滤波
• 粒子滤波

等，我们在下一节介绍Kalman滤波。

参考文献

[1]. Sebastian Thrun, Wolfram Burgard, Dieter Fox, Probabilistic Robotics, 2002, The MIT Press.