设 $f:mathbf{R}^n omathbf{R}^m$ 是从 $n$ 维线性空间 $mathbf{R}^n$ 到 $m$ 维线性空间 $mathbf{R}^m$ 的映射.如果 $f$在 $mathbf{R}^n$ 中的 某点可微,定义为存在线性映 射 $T:mathbf{R}^n o mathbf{R}^m$,使得 egin{equation} f(x)=f(x_0)+T(x-x_0)+o(||x-x_0||). end{equation} 其中 $||x-x_{0}||$ 是 $mathbf{R}^{n}$ 中的点 $x$ 和 $x_0$ 的欧氏距离. $o||x-x_{0}||$ 是关于 $||x-x_{0}||$ 的高阶无穷小量.线性映射 $T$ 称为 $f$ 在 $x_{0}$ 处的导数,记为$f'(x_0)$.这是一阶导数的定义.我们还知道,一阶导数的雅可比矩阵为 $$ egin{pmatrix} frac{partial f_1}{partial e_1}(x_0) & cdots & frac{partial f_1}{partial e_n}(x_0) \ vdots & ddots & vdots \ frac{partial f_m}{partial e_1}(x_0) & cdots & frac{partial f_m}{partial e_n}(x_0) end{pmatrix}. $$ 现在我们来探讨二阶导数的定义,以及二阶导数对应的矩阵.我们知道,二阶导数可以定义为一阶导数的导数(如果一阶导数的导数存在的话).我们说 $f$ 在 $x_0$ 处二阶可导,如果 egin{equation} f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(||x-x_0||). end{equation} 把 $f''(x_0)$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 点的二阶导数.上式化为 $$ frac{f'(x)-f'(x_0)}{||x-x_0||}=f''(x_0)e+frac{o(||x-x_0||)}{||x-x_0||}. $$ 当 $x$ 沿着 $mathbf{R}^n$ 的一组标准正交基中的第 $i$ 个坐 标 $e_{i}$ 趋于 $x_0$,那么上式会变成 egin{equation} frac{partial^{2} f}{partial e_i^{2}}(x_0)=f''(x_0)e_i. end{equation} 于是 $f''(x_0)$ 的矩阵为 $$ egin{pmatrix} frac{partial^2f}{partial e_1^2}&frac{partial^2f}{partial e_2^2}&cdots&frac{partial^2f}{partial e_n^2} end{pmatrix}. $$即为$$
egin{pmatrix} frac{partial^2 f_1}{partial e^2_1}(x_0) & cdots &
frac{partial^2 f_1}{partial e^2_n}(x_0) \ vdots & ddots & vdots
\ frac{partial^2 f_m}{partial e^2_1}(x_0) & cdots & frac{partial^2 f_m}{partial e^2_n}(x_0) end{pmatrix}.
$$
值得指出的是,上面的是错误的.错在红色的部分.