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  • 陶哲轩实分析习题8.5.1

    考虑具有空序关系的空集$\leq_{\emptyset}$(这个关系$\leq_{\emptyset}$是空的,因为空集没有元素).这个集合是否偏序的?良序的?全序的?给予解释.

    证明:首先回顾什么是偏序集.偏序集指的是一个集合$X$连同一个关系$\preceq$.$\forall a,b\in X$,都有$a\preceq b$或者$a\preceq b$不成立.而且满足(1)$a\preceq a$ (2)若$a\preceq b$且$b\preceq a$,则$a=b$ (3)若$a\preceq b$,$b\preceq c$,则$a\preceq c$.

    全序集是特殊的偏序集.全序集里的任何两个元素$a,b$,$a\preceq b$和$b\preceq a$必有且仅有一个成立.而良序集是特殊的全序集,它的任何一个非空子集都有最小元.

    现在考虑空集,由于不存在$a,b\in\emptyset$,所以我们假定存在$a,b\in\emptyset$的时候已经做了一个错误的假设前提.前提是错误的,那么能推出任何错误的结论.

    所以$\emptyset$既是偏序集,又是全序集,又是良序集.

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